Упр.1297 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1297

1. $$\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}-\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)$$

   Используем формулу суммы тангенсов:
   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}+\tg a}{1-\tg\frac{\pi}{4}\tg a}=\frac{1+\tg a}{1-\tg a}.$$

   Тогда
   $$\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}-\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right) =\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}-\frac{1+\tg a}{1-\tg a}.$$

   Так как $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a},$$ то
   $$\frac{1+\tg a}{1-\tg a}=\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}.$$

   Следовательно,
   $$\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}-\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=0.$$

2. $$\tg^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-\frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}$$

   Используем формулу:
   $$\tg\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\ctg a,$$
   значит
   $$\tg^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\ctg^2 a=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}.$$

   Тогда
   $$\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}-\frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a} =\frac{\cos^2 a(1+\sin 2a)-\sin^2 a(1-\sin 2a)}{\sin^2 a(1+\sin 2a)}.$$

   Раскроем скобки в числителе:
   $$\cos^2 a+\cos^2 a\sin 2a-\sin^2 a+\sin^2 a\sin 2a.$$

   Группируем:
   $$\cos^2 a-\sin^2 a+\sin 2a(\cos^2 a+\sin^2 a).$$

   Так как $$\cos^2 a+\sin^2 a=1,$$ а $$\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a,$$ получаем:
   $$\cos 2a+\sin 2a.$$

   Следовательно,
   $$\tg^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-\frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a} =\frac{\cos 2a+\sin 2a}{\sin^2 a(1+\sin 2a)}.$$

Ответ

1) $$0$$;
2) $$\frac{\cos 2a+\sin 2a}{\sin^2 a(1+\sin 2a)}.$$