Упр.1295 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что $$\operatorname{tg} a=2$$. Найти значение выражения:

1) $$\frac{\sin^2 a+\sin a\cos a}{\cos^2 a+3\cos a\sin a}$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\cos^2 a$$:

$$\frac{\dfrac{\sin^2 a}{\cos^2 a}+\dfrac{\sin a\cos a}{\cos^2 a}}{\dfrac{\cos^2 a}{\cos^2 a}+3\dfrac{\cos a\sin a}{\cos^2 a}}=\frac{\tg^2 a+\tg a}{1+3\tg a}.$$

При $$\tg a=2$$ получаем:

$$\frac{2^2+2}{1+3\cdot 2}=\frac{4+2}{7}=\frac{6}{7}.$$

Ответ: $$\frac{6}{7}$$

2) $$\frac{2-\sin^2 a}{3+\cos^2 a}$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\cos^2 a$$:

$$\frac{\dfrac{2}{\cos^2 a}-\dfrac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{\dfrac{3}{\cos^2 a}+\dfrac{\cos^2 a}{\cos^2 a}}=\frac{2\tg^2 a+2-\tg^2 a}{3\tg^2 a+4}=\frac{2+\tg^2 a}{4+3\tg^2 a}.$$

Подставим $$\tg a=2$$:

$$\frac{2+2^2}{4+3\cdot 2^2}=\frac{2+4}{4+12}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.$$

Ответ: $$\frac{3}{8}$$