Упр.1294 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) sin а + sin b — sin у = 4 sin a/2sinb/2 cosy/2.
2) sin 2а + sin 2b + sin 2y = 4 sin a sin 3 sin y.
Так как $$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$ то $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta).$$
Преобразуем правую часть:
$$ 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right) =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}. $$
Далее:
$$ 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2} =4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right) $$
$$ =4\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2} +4\sin\frac{\alpha}{2}\sin^2\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $$
$$ =2\sin\frac{\beta}{2}(1-\cos\alpha)+2\sin\frac{\alpha}{2}(1-\cos\beta) $$
$$ =\sin\beta-\sin\beta\cos\alpha+\sin\alpha-\sin\alpha\cos\beta $$
$$ =\sin\alpha+\sin\beta-\bigl(\sin\beta\cos\alpha+\sin\alpha\cos\beta\bigr) =\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta) $$
$$ =\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\pi-\gamma) =\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma. $$
Следовательно,
$$\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$
Из условия $$\alpha+\beta+\gamma=\pi$$ получаем:
$$\alpha+\beta=\pi-\gamma,\qquad \beta+\gamma=\pi-\alpha,\qquad \gamma+\alpha=\pi-\beta.$$
Преобразуем левую часть:
$$ \sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma =2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\sin2\gamma $$
$$ =2\sin(\pi-\gamma)\cos(\alpha-\beta)+2\sin\gamma\cos\gamma $$
$$ =2\sin\gamma\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos\gamma\bigr). $$
По формуле суммы косинусов:
$$ \cos(\alpha-\beta)+\cos\gamma =2\cos\frac{\alpha-\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta-\gamma}{2}. $$
Так как $$\gamma=\pi-\alpha-\beta,$$ то
$$ \frac{\alpha-\beta+\gamma}{2}=\frac{\pi-2\beta}{2},\qquad \frac{\alpha-\beta-\gamma}{2}=\alpha-\frac{\pi}{2}. $$
Тогда
$$ \sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma =4\sin\gamma\cos\frac{\pi-2\beta}{2}\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right) =4\sin\gamma\sin\beta\sin\alpha. $$
Ответ
$$\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma=4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2},$$
$$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.$$
