Упр.1293 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Разложить на множители: 1) $$1+\cos a+\sin a$$; 2) $$1-\cos a-\sin a$$; 3) $$3-4\sin^2 a$$; 4) $$1-4\cos^2 a$$.

1) $$1+\cos a+\sin a=(1+\cos a)+\sin a=2\cos^2\frac a2+2\sin\frac a2\cos\frac a2$$

$$=2\cos\frac a2\left(\cos\frac a2+\sin\frac a2\right)=2\sqrt2\cos\frac a2\sin\left(\frac a2+\frac\pi4\right).$$

2) $$1-\cos a-\sin a=(1-\cos a)-\sin a=2\sin^2\frac a2-2\sin\frac a2\cos\frac a2$$

$$=2\sin\frac a2\left(\sin\frac a2-\cos\frac a2\right)=2\sqrt2\sin\frac a2\sin\left(\frac a2-\frac\pi4\right).$$

3) $$3-4\sin^2 a=4\cos^2 a-1=(2\cos a-1)(2\cos a+1).$$

4) $$1-4\cos^2 a=(1-2\cos a)(1+2\cos a).$$

Ответ:

1) $$2\sqrt2\cos\frac a2\sin\left(\frac a2+\frac\pi4\right)$$

2) $$2\sqrt2\sin\frac a2\sin\left(\frac a2-\frac\pi4\right)$$

3) $$(2\cos a-1)(2\cos a+1)$$

4) $$(1-2\cos a)(1+2\cos a)$$