Упр.1293 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) 1 + cos а + sin а;
2) 1 — cos а — sin а;
3) 3 — 4 sin2 а;
4) 1 — 4 cos2 а

1. $$1+\cos \alpha+\sin \alpha=(1+\cos \alpha)+\sin \alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$$
   $$=2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\right)=2\sqrt2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$

2. $$1-\cos \alpha-\sin \alpha=(1-\cos \alpha)-\sin \alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}-2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$$
   $$=2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}-\cos\frac{\alpha}{2}\right)=2\sqrt2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$

3. $$3-4\sin^2\alpha=3-4(1-\cos^2\alpha)=4\cos^2\alpha-1$$
   $$=(2\cos\alpha-1)(2\cos\alpha+1).$$

4. $$1-4\cos^2\alpha=(1-2\cos\alpha)(1+2\cos\alpha).$$

Ответ

$$1)\;2\sqrt2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$
$$2)\;2\sqrt2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$
$$3)\;(2\cos\alpha-1)(2\cos\alpha+1)$$
$$4)\;(1-2\cos\alpha)(1+2\cos\alpha)$$