Упр.1292 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество.

Преобразуем левую часть:

$$\frac{\cos^2 x}{1+\sin x}-\frac{\sin^2 x}{1-\cos x} = \frac{\cos^2 x(1-\cos x)-\sin^2 x(1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\cos x)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{\cos^2 x-\cos^3 x-\sin^2 x-\sin^3 x}{(1+\sin x)(1-\cos x)} = \frac{(\cos^2 x-\sin^2 x)-(\cos^3 x+\sin^3 x)}{(1+\sin x)(1-\cos x)}$$

Используем формулы разности квадратов и суммы кубов:

$$\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x),$$

$$\cos^3 x+\sin^3 x=(\cos x+\sin x)(\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x).$$

Тогда

$$\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-(\cos x+\sin x)(\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x)}{(1+\sin x)(1-\cos x)}$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{(\cos x+\sin x)\bigl((\cos x-\sin x)-(\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x)\bigr)}{(1+\sin x)(1-\cos x)}$$

Упростим выражение в скобках:

$$(\cos x-\sin x)-(\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x) = \cos x-\sin x-\cos^2 x+\cos x\sin x-\sin^2 x$$

$$= \cos x(1-\cos x+\sin x)-\sin x(1+\sin x)$$

После преобразований получаем:

$$\frac{(\cos x+\sin x)(\cos x-1)(1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\cos x)} = -\bigl(\cos x+\sin x\bigr)$$

Следовательно,

$$\frac{\cos^2 x}{1+\sin x}-\frac{\sin^2 x}{1-\cos x}=-\sin x-\cos x.$$

Ответ: тождество доказано.