Упр.1289 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1289 Доказать тождество

Преобразуем левую часть тождества:

$$ \frac{1-(\sin a+\cos a)^2}{\sin a\cos a-\ctg a} = \frac{1-\sin^2 a-\cos^2 a-2\sin a\cos a}{\sin a\cos a-\frac{\cos a}{\sin a}} $$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем:

$$ \frac{-2\sin a\cos a}{\sin a\cos a-\frac{\cos a}{\sin a}} = \frac{-2\sin a\cos a}{\frac{\sin^2 a\cos a-\cos a}{\sin a}} = \frac{-2\sin a\cos a}{\frac{\cos a(\sin^2 a-1)}{\sin a}} $$

$$ = -2\sin a\cos a\cdot \frac{\sin a}{\cos a(\sin^2 a-1)} = -2\sin^2 a\cdot \frac{1}{\sin^2 a-1} $$

Так как $$\sin^2 a-1=-\cos^2 a,$$ то

$$ -2\sin^2 a\cdot \frac{1}{\sin^2 a-1} = \frac{2\sin^2 a}{1-\sin^2 a} = \frac{2\sin^2 a}{\cos^2 a} = 2\tg^2 a. $$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

$$ \frac{1-(\sin a+\cos a)^2}{\sin a\cos a-\ctg a}=2\tg^2 a $$