Упр.1289 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество.

Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-(\sin \alpha+\cos \alpha)^2}{\sin \alpha\cos \alpha-\ctg \alpha} = \frac{1-\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha-2\sin \alpha\cos \alpha}{\sin \alpha\cos \alpha-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}$$

Так как $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1,$$ получаем

$$\frac{-2\sin \alpha\cos \alpha}{\sin \alpha\cos \alpha-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{-2\sin \alpha\cos \alpha}{\frac{\sin^2 \alpha\cos \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{-2\sin^2 \alpha\cos \alpha}{\cos \alpha(\sin^2 \alpha-1)}$$

Сократим на $$\cos \alpha$$ и учтём, что $$\sin^2 \alpha-1=-\cos^2 \alpha$$:

$$\frac{-2\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha-1} = \frac{2\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2\tg^2 \alpha$$

Следовательно,

$$\frac{1-(\sin \alpha+\cos \alpha)^2}{\sin \alpha\cos \alpha-\ctg \alpha}=2\tg^2 \alpha.$$

Ответ: тождество доказано.