Упр.1288 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1288

1. $$\frac{1+\tg^2 a}{1+\ctg^2 a}$$
   Используем формулы:
   $$1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}, \qquad 1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}.$$
   Тогда
   $$\frac{1+\tg^2 a}{1+\ctg^2 a}=\frac{1/\cos^2 a}{1/\sin^2 a}=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\tg^2 a.$$

2. $$\left(1+\tg a\right)\left(1+\ctg a\right)-\frac{1}{\sin a\cos a}$$
   Преобразуем:
   $$\left(1+\tg a\right)\left(1+\ctg a\right)=1+\tg a+\ctg a+\tg a\cdot\ctg a.$$
   Так как $$\tg a\cdot\ctg a=1,$$ получаем
   $$1+\tg a+\ctg a+1=2+\tg a+\ctg a.$$
   Далее
   $$\tg a+\ctg a=\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin a\cos a}=\frac{1}{\sin a\cos a}.$$
   Значит,
   $$\left(1+\tg a\right)\left(1+\ctg a\right)-\frac{1}{\sin a\cos a}=2.$$

Ответ

1) $$\tg^2 a$$; 2) $$2$$.