Упр.1285 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+ab}}-\frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab+b}}\right)^{-2}-\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}}{2ab}$$

Так как

$$\sqrt{a^2+ab}=\sqrt{a(a+b)}=\sqrt a\sqrt{a+b}, \qquad \sqrt{ab+b^2}=\sqrt{b(a+b)}=\sqrt b\sqrt{a+b},$$

то

$$\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+ab}}-\frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab+b}}=\frac{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a\sqrt{a+b}}-\frac{\sqrt b\sqrt{a+b}}{\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)}$$

$$=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2-(a+b)}{\sqrt{a+b}\,(\sqrt a+\sqrt b)}=\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}\,(\sqrt a+\sqrt b)}.$$

Тогда

$$\left(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}\,(\sqrt a+\sqrt b)}\right)^{-2}=\frac{(a+b)(\sqrt a+\sqrt b)^2}{4ab}.$$

Кроме того,

$$\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}}{2ab}=\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{2ab}=\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}.$$

Следовательно,

$$\frac{(a+b)(\sqrt a+\sqrt b)^2}{4ab}-\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}$$

$$=\frac{(a+b)\bigl(a+2\sqrt{ab}+b-2\sqrt{ab}\bigr)}{4ab}=\frac{(a+b)^2}{4ab}.$$

2) Преобразуем выражение:

$$\left(\sqrt a+\sqrt b\right)^{-2}\left(\frac1a+\frac1b\right)+\frac{2\left(a^{-1/2}+b^{-1/2}\right)}{(\sqrt a+\sqrt b)^3}$$

Имеем

$$\left(\sqrt a+\sqrt b\right)^{-2}\left(\frac1a+\frac1b\right)=\frac{1}{(\sqrt a+\sqrt b)^2}\cdot\frac{a+b}{ab},$$

$$\frac{2\left(a^{-1/2}+b^{-1/2}\right)}{(\sqrt a+\sqrt b)^3}=\frac{2\left(\frac1{\sqrt a}+\frac1{\sqrt b}\right)}{(\sqrt a+\sqrt b)^3}=\frac{2(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{ab}\,(\sqrt a+\sqrt b)^3}=\frac{2}{\sqrt{ab}\,(\sqrt a+\sqrt b)^2}.$$

Тогда

$$\frac{a+b}{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2}+\frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)^2}$$

$$=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2}=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2}{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2}=\frac1{ab}.$$

Ответ: 1) $$\frac{(a+b)^2}{4ab}$$; 2) $$\frac1{ab}$$.