Упр.1285 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1285 *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1285 1111

1. Упростим выражение

   $$\left(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+ab}}-\frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab+b}}\right)^{-2}-\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}}{2ab}.$$

   Так как $$\sqrt{a^2+ab}=\sqrt{a(a+b)}=\sqrt a\sqrt{a+b},$$
   $$\sqrt{ab+b^2}=\sqrt{b(a+b)}=\sqrt b\sqrt{a+b},$$
   $$\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}=\sqrt{ab}(a+b),$$
   то

   $$ \left(\frac{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a\sqrt{a+b}}-\frac{\sqrt b\sqrt{a+b}}{\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)}\right)^{-2} -\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{2ab}. $$

   Приведём к общему виду:
   $$ \left(\frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2-(a+b)}{\sqrt{a+b}(\sqrt a+\sqrt b)}\right)^{-2} -\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}. $$

   Так как
   $$ (\sqrt a+\sqrt b)^2-(a+b)=2\sqrt{ab}, $$
   получаем
   $$ \left(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}(\sqrt a+\sqrt b)}\right)^{-2} -\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}. $$

   Тогда
   $$ \frac{(\sqrt{a+b}(\sqrt a+\sqrt b))^2}{4ab}-\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{(a+b)(a+2\sqrt{ab}+b)}{4ab}-\frac{2\sqrt{ab}(a+b)}{4ab}. $$

   $$ \frac{a^2+2a\sqrt{ab}+ab+ab+2b\sqrt{ab}+b^2-2a\sqrt{ab}-2b\sqrt{ab}}{4ab} = \frac{(a+b)^2}{4ab}. $$

2. Упростим выражение

   $$\left(\sqrt a+\sqrt b\right)^{-2}\left(\frac1a+\frac1b\right)+\frac{2\left(a^{-1/2}+b^{-1/2}\right)}{(\sqrt a+\sqrt b)^3}.$$

   Имеем
   $$ \left(\sqrt a+\sqrt b\right)^{-2}\left(\frac1a+\frac1b\right) = \frac{1}{(\sqrt a+\sqrt b)^2}\cdot\frac{a+b}{ab}, $$
   а также
   $$ \frac{2\left(a^{-1/2}+b^{-1/2}\right)}{(\sqrt a+\sqrt b)^3} = \frac{2\left(\frac1{\sqrt a}+\frac1{\sqrt b}\right)}{(\sqrt a+\sqrt b)^3} = \frac{2(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)^3} = \frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)^2}. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{a+b}{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2}+\frac{2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2} = \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2}. $$

   Так как
   $$ a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2, $$
   то
   $$ \frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2}{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2}=\frac1{ab}. $$

Ответ

1) $$\frac{(a+b)^2}{4ab}$$
2) $$\frac1{ab}$$