Упр.1280 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1280 Упростить выражение и найти его значение:

Подробный ответ

$$\left(1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)\left(1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)=1-\frac{a-x}{a+x}$$
$$1-\frac{a-x}{a+x}=\frac{a+x-(a-x)}{a+x}=\frac{2x}{a+x}$$
При $$a=5$$ и $$x=4$$ получаем:
$$\frac{2x}{a+x}=\frac{2\cdot 4}{5+4}=\frac{8}{9}$$
$$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2}{\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)} $$
Числитель:
$$ \left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)^2=4a\sqrt{a^2-x^2} $$
Знаменатель:
$$ \left(a-\sqrt{a^2-x^2}\right)\left(a+\sqrt{a^2-x^2}\right)=a^2-(a^2-x^2)=x^2 $$
Значит,
$$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}$$
При $$a=3$$ и $$x=\sqrt5$$:
$$ \frac{4\cdot 3\sqrt{3^2-(\sqrt5)^2}}{(\sqrt5)^2} =\frac{12\sqrt{9-5}}{5} =\frac{12\cdot 2}{5} =\frac{24}{5}=4{,}8 $$