Упр.128 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Пользуясь рисунком 13 (с. 45), найти промежутки, на которых график функции: 1) $$y=x^{1/5}$$; 2) $$y=x^{5/3}$$ — лежит выше (ниже) графика функции $$y=x$$.

1) Для функции $$y=x^{\frac15}$$ сравним её с прямой $$y=x$$.

Решим неравенство:

$$x^{\frac15}>x$$

При $$x\ge 0$$ можно возвести обе части в пятую степень, так как функция $$t\mapsto t^5$$ возрастает:

$$x>x^5$$

$$x^5-x>0$$

$$x(x^4-1)>0$$

$$x(x^2-1)(x^2+1)>0$$

$$x(x-1)(x+1)(x^2+1)>0$$

Так как $$x^{\frac15}$$ определена при $$x\ge 0$$, остаются промежутки:

выше графика $$y=x$$ при $$x\in(0;1)$$, ниже — при $$x\in(1;+\infty)$$.

2) Для функции $$y=x^{\frac53}$$ сравним её с прямой $$y=x$$.

Решим неравенство:

$$x^{\frac53}>x$$

$$x^{\frac53}-x>0$$

$$x\left(x^{\frac23}-1\right)>0$$

$$x\left(x^{\frac13}-1\right)\left(x^{\frac13}+1\right)>0$$

Так как $$x^{\frac53}$$ определена при всех $$x$$, получаем:

выше графика $$y=x$$ при $$x\in(1;+\infty)$$, ниже — при $$x\in(0;1)$$.

Ответ

1) $$y=x^{\frac15}$$: выше при $$x\in(0;1)$$, ниже при $$x\in(1;+\infty)$$.

2) $$y=x^{\frac53}$$: выше при $$x\in(1;+\infty)$$, ниже при $$x\in(0;1)$$.