Упр.1278 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1278

1. $$\frac{a}{a^2-1}+\frac{a^2+a-1}{a^3-a^2+a-1}+\frac{a^2-a-1}{a^3+a^2+a+1}-\frac{2a^3}{a^4-1}$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$a^2-1=(a-1)(a+1),$$
   $$a^3-a^2+a-1=(a-1)(a^2+1),$$
   $$a^3+a^2+a+1=(a+1)(a^2+1),$$
   $$a^4-1=(a^2-1)(a^2+1).$$

   Тогда
   $$ \frac{a}{(a-1)(a+1)}+\frac{a^2+a-1}{(a-1)(a^2+1)}+\frac{a^2-a-1}{(a+1)(a^2+1)}-\frac{2a^3}{(a^2-1)(a^2+1)} $$
   $$ =\frac{a(a^2+1)+(a^2+a-1)(a+1)+(a^2-a-1)(a-1)-2a^3}{(a-1)(a+1)(a^2+1)}. $$

   Преобразуем числитель:
   $$ a(a^2+1)+(a^2+a-1)(a+1)+(a^2-a-1)(a-1)-2a^3 $$
   $$ =a^3+a+a^3+a^2+a-a+a^3-a^2-a+a-1-2a^3 $$
   $$ =a^3+a. $$

   Значит,
   $$ \frac{a^3+a}{(a-1)(a+1)(a^2+1)}=\frac{a(a^2+1)}{(a^2-1)(a^2+1)}=\frac{a}{a^2-1}. $$

2. $$\frac{1}{a^2+5a+6}+\frac{2a}{a^2+4a+3}+\frac{1}{(a+1)^2+a+1}-\frac{2}{a+3}$$

   Разложим знаменатели:
   $$ a^2+5a+6=(a+2)(a+3), $$
   $$ a^2+4a+3=(a+1)(a+3), $$
   $$ (a+1)^2+a+1=a^2+3a+2=(a+1)(a+2). $$

   Тогда
   $$ \frac{1}{(a+2)(a+3)}+\frac{2a}{(a+1)(a+3)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)}-\frac{2}{a+3} $$
   $$ =\frac{(a+1)+2a(a+2)+(a+3)-2(a+1)(a+2)}{(a+1)(a+2)(a+3)}. $$

   Числитель:
   $$ (a+1)+2a(a+2)+(a+3)-2(a+1)(a+2) $$
   $$ =a+1+2a^2+4a+a+3-2a^2-6a-4=0. $$

   Следовательно,
   $$ \frac{0}{(a+1)(a+2)(a+3)}=0. $$

Ответ

1) $$\frac{a}{a^2-1}$$
2) $$0$$