Упр.1276 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sinacosa, если sina+cosa=1/3.

1. Преобразуем выражение:

   $$\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha}=\frac{\frac12\sin 2\alpha}{-\left(\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha\right)}=-\frac12\cdot\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}=-\frac12\tan 2\alpha.$$

   Используем формулу:

   $$\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}.$$

   Тогда при $$\tan \alpha=\frac34$$ получаем:

   $$-\frac12\tan 2\alpha=-\frac12\cdot\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}=-\frac{\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}.$$

   Подставим значение:

   $$-\frac{\frac34}{1-\left(\frac34\right)^2}=-\frac{\frac34}{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\frac34}{\frac{7}{16}}=-\frac34\cdot\frac{16}{7}=-\frac{12}{7}.$$

2. Возведём в квадрат равенство $$\sin \alpha+\cos \alpha=\frac13$$:

   $$\left(\sin \alpha+\cos \alpha\right)^2=\left(\frac13\right)^2.$$

   Тогда

   $$\sin^2 \alpha+2\sin \alpha\cos \alpha+\cos^2 \alpha=\frac19.$$

   Так как $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1,$$ имеем:

   $$1+2\sin \alpha\cos \alpha=\frac19.$$

   Отсюда

   $$2\sin \alpha\cos \alpha=\frac19-1=-\frac89,$$

   $$\sin \alpha\cos \alpha=-\frac49.$$

Ответ

1) $$-\frac{12}{7}$$; 2) $$-\frac49$$.