Упр.1276 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{\sin a\cos a}{\sin^2 a-\cos^2 a}$$ при $$\tg a=\frac{3}{4}$$;
2. $$\sin a\cos a$$, если $$\sin a+\cos a=\frac{1}{3}$$.

1) Преобразуем выражение:

$$\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha} = -\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha} = -\frac{1}{2}\tg 2\alpha.$$

Так как

$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha},$$

то при $$\tg \alpha=\frac{3}{4}$$ получаем

$$-\frac{1}{2}\tg 2\alpha = -\frac{1}{2}\cdot \frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha} = -\frac{\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha} = -\frac{\frac{3}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2} = -\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{9}{16}} = -\frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = -\frac{12}{7}.$$

2) Пусть $$\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{1}{3}$$. Возведём обе части в квадрат:

$$(\sin \alpha+\cos \alpha)^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2.$$

Тогда

$$\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha=\frac{1}{9}.$$

Так как $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$$, получаем

$$1+2\sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{9},$$

откуда

$$2\sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{9}-1=-\frac{8}{9},$$

$$\sin \alpha \cos \alpha=-\frac{4}{9}.$$

Ответ

1) $$-\frac{12}{7}$$; 2) $$-\frac{4}{9}$$.