Упр.1273 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{4}\sin\frac{\pi}{4}$$
2. $$\log_{10}\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$$
3. $$\log_{8}\sin\frac{3\pi}{4}$$
4. $$\log_{2}\cos\frac{\pi}{3}$$
5. $$\log_{3}(1)-\log_{4}\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\cdot\log_{5}\cos 0$$

1. $$\log_4 \sin \frac{\pi}{4}=\log_4 \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

   Так как $$4=2^2,$$ а $$\frac{1}{\sqrt{2}}=2^{-\frac12},$$ то

   $$\log_4 \sin \frac{\pi}{4}=\log_{2^2} 2^{-\frac12}=\frac{-\frac12}{2}=-\frac14.$$

2. $$\log_{10} \tg \frac{\pi}{4}=\log_{10} 1=0.$$

3. $$\log_8 \sin \frac{3\pi}{4}=\log_8 \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Так как $$8=2^3$$ и $$\frac{\sqrt{2}}{2}=2^{-\frac12},$$ получаем

   $$\log_8 \sin \frac{3\pi}{4}=\log_{2^3} 2^{-\frac12}=\frac{-\frac12}{3}=-\frac16.$$

4. $$\log_2 \cos \frac{\pi}{3}=\log_2 \frac12=\log_2 2^{-1}=-1.$$

5. $$\log_3 1-\log_4 \tg \frac{\pi}{4}\cdot \log_5 \cos 0.$$

   Вычислим значения:

   $$\log_3 1=0,\qquad \tg \frac{\pi}{4}=1,\qquad \cos 0=1.$$

   Тогда

   $$0-\log_4 1\cdot \log_5 1=0-0\cdot 0=0.$$

Ответ: $$-\frac14,\ 0,\ -\frac16,\ -1,\ 0.$$