Упр.127 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Изобразить схематически график функции и найти её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу):
- а) $$y=(x-2)^7$$; б) $$y=(x+1)^6$$; в) $$y=(x+2)^{-2}$$; г) $$y=(x-1)^{-3}$$.
1) $$y=(x-2)^7$$
Это график функции $$y=x^7$$, сдвинутый вдоль оси $$x$$ на 2 единицы вправо.
Область определения: $$x\in \mathbb{R}$$.
Множество значений: $$y\in \mathbb{R}$$.
Функция возрастающая, не ограничена ни сверху, ни снизу.
2) $$y=(x+1)^6$$
Это график функции $$y=x^6$$, сдвинутый вдоль оси $$x$$ на 1 единицу влево.
Область определения: $$x\in \mathbb{R}$$.
Множество значений: $$y\ge 0$$.
Функция убывает при $$x\le -1$$ и возрастает при $$x\ge -1$$. Снизу ограничена, сверху не ограничена.
3) $$y=(x+2)^{-2}=\dfrac{1}{(x+2)^2}$$
Это график функции $$y=x^{-2}$$, сдвинутый вдоль оси $$x$$ на 2 единицы влево.
Область определения: $$x\ne -2$$.
Множество значений: $$y>0$$.
Функция убывает на $$(-\infty;\,-2)$$ и возрастает на $$(-2;\,+\infty)$$. Снизу ограничена, сверху не ограничена.
4) $$y=(x-1)^{-3}=\dfrac{1}{(x-1)^3}$$
Это график функции $$y=x^{-3}$$, сдвинутый вдоль оси $$x$$ на 1 единицу вправо.
Область определения: $$x\ne 1$$.
Множество значений: $$y\ne 0$$.
Функция убывает на всей области определения, то есть на $$(-\infty;\,1)$$ и $$(1;\,+\infty)$$. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
Ответ
1) $$D=\mathbb{R},\ E=\mathbb{R}$$; функция возрастающая, не ограничена.
2) $$D=\mathbb{R},\ E=[0;\,+\infty)$$; убывает при $$x\le -1$$, возрастает при $$x\ge -1$$; ограничена снизу.
3) $$D=\mathbb{R}\setminus\{-2\},\ E=(0;\,+\infty)$$; убывает на $$(-\infty;\,-2)$$, возрастает на $$(-2;\,+\infty)$$; ограничена снизу.
4) $$D=\mathbb{R}\setminus\{1\},\ E=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$; функция убывает на всей области определения, не ограничена.
