Упр.1268 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти числовые значения всех остальных тригонометрических функций по данному значению одной из них ($$0
Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ все тригонометрические функции положительны.
Если $$\cos \alpha=0{,}8=\frac{4}{5},$$ то
$$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2} =\sqrt{\frac{9}{25}} =\frac35.$$
$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{3/5}{4/5} =\frac34,\qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha} =\frac43.$$
Если $$\sin \alpha=\frac{5}{13},$$ то
$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13}.$$
$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{5/13}{12/13} =\frac{5}{12},\qquad \ctg \alpha=\frac{12}{5}.$$
Если $$\tg \alpha=2{,}4=\frac{12}{5},$$ то
$$\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}} =\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{25}}} =\frac{5}{13}.$$
$$\sin \alpha=\tg \alpha\cdot \cos \alpha =\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{13} =\frac{12}{13},\qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha} =\frac{5}{12}.$$
Если $$\ctg \alpha=\frac{7}{24},$$ то
$$\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2\alpha}} =\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{7}{24}\right)^2}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{625}{576}}} =\frac{24}{25}.$$
$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\left(\frac{24}{25}\right)^2} =\frac{7}{25},\qquad \tg \alpha=\frac{1}{\ctg \alpha} =\frac{24}{7}.$$
Ответ:
1) $$\sin \alpha=\frac35,\ \tg \alpha=\frac34,\ \ctg \alpha=\frac43;$$
2) $$\cos \alpha=\frac{12}{13},\ \tg \alpha=\frac{5}{12},\ \ctg \alpha=\frac{12}{5};$$
3) $$\cos \alpha=\frac{5}{13},\ \sin \alpha=\frac{12}{13},\ \ctg \alpha=\frac{5}{12};$$
4) $$\sin \alpha=\frac{24}{25},\ \cos \alpha=\frac{7}{25},\ \tg \alpha=\frac{24}{7}.$$
