Упр.1265 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить диаметр $$x$$ круга, вписанного в равносторонний треугольник (рис. 186), если $$a=6\ \text{см}$$.
2. Вычислить угол $$a$$ заготовки, изображённой на рисунке 187, если $$a=4\ \text{см}$$.

1) Для равностороннего треугольника со стороной $$a=6\text{ см}$$ найдём радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника:

$$S=\frac12 a^2\sin 60^\circ=\frac12\cdot 6^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=9\sqrt3\text{ см}^2.$$

С другой стороны,

$$S=pr,$$

где $$p=\frac12(a+a+a)=\frac12\cdot 18=9\text{ см}.$$

Тогда

$$r=\frac{S}{p}=\frac{9\sqrt3}{9}=\sqrt3\text{ см}.$$

Диаметр окружности:

$$d=2r=2\sqrt3\text{ см}.$$

2) Для заготовки при $$a=4\text{ см}$$ используем соотношение для половины угла:

$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{4{,}5/2}{4}=\frac{2{,}25}{4}=0{,}5625.$$

Тогда

$$\alpha=2\arctan 0{,}5625\approx 2\cdot 29{,}36^\circ\approx 58{,}72^\circ.$$

Ответ: 1) $$2\sqrt3\text{ см}$$; 2) $$58{,}72^\circ$$.