Упр.1264 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Пусть $$01) точка $$\frac{a+b}{2}$$ — середина отрезка $$[a;b]$$;
   2) точка $$\frac{a+bc}{1+c}$$, где $$c>0$$, лежит внутри отрезка $$[a;b]$$.

Пусть $$0<a<b.$$

1. Докажем, что точка $$\frac{a+b}{2}$$ — середина отрезка $$[a;b].$$

   Найдём расстояния от этой точки до концов отрезка:

   $$\left|\frac{a+b}{2}-a\right|=\left|\frac{b-a}{2}\right|=\frac{b-a}{2},$$

   $$\left|b-\frac{a+b}{2}\right|=\left|\frac{b-a}{2}\right|=\frac{b-a}{2}.$$

   Оба расстояния равны, значит, точка $$\frac{a+b}{2}$$ делит отрезок $$[a;b]$$ на две равные части, то есть является его серединой.

2. Докажем, что точка $$\frac{a+bc}{1+c}$$ при $$c>0$$ лежит внутри отрезка $$[a;b].$$

   Сравним её с числом $$a$$:

   $$\frac{a+bc}{1+c}-a=\frac{a+bc-a-ac}{1+c}=\frac{c(b-a)}{1+c}>0.$$

   Значит, $$\frac{a+bc}{1+c}>a.$$

   Теперь сравним с числом $$b$$:

   $$b-\frac{a+bc}{1+c}=\frac{b+bc-a-bc}{1+c}=\frac{b-a}{1+c}>0.$$

   Следовательно, $$\frac{a+bc}{1+c}<b.$$

   Итак,

   $$a<\frac{a+bc}{1+c}<b,$$

   то есть точка $$\frac{a+bc}{1+c}$$ лежит внутри отрезка $$[a;b].$$

Ответ: 1) $$\frac{a+b}{2}$$ — середина отрезка $$[a;b]$$; 2) $$\frac{a+bc}{1+c}$$ лежит внутри отрезка $$[a;b].$$