Упр.1264 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) точка (а+b)/2 — середина отрезка [а; b];
2) точка (а + bс)/(1+c), где с > 0, лежит внутри отрезка [а; b].

1) Найдём расстояния от точки $$\frac{a+b}{2}$$ до концов отрезка $$[a;b]$$:

$$ \left|\frac{a+b}{2}-a\right| = \left|\frac{a+b-2a}{2}\right| = \frac{b-a}{2}, $$
$$ \left|b-\frac{a+b}{2}\right| = \left|\frac{2b-a-b}{2}\right| = \frac{b-a}{2}. $$

Оба расстояния равны, значит, точка $$\frac{a+b}{2}$$ делит отрезок $$[a;b]$$ пополам и является его серединой.

2) Рассмотрим точку $$x=\frac{a+bc}{1+c}$$, где $$c>0$$. Сравним её с концами отрезка:

$$ x-a=\frac{a+bc-a(1+c)}{1+c} =\frac{c(b-a)}{1+c}>0, $$
так как $$b>a$$ и $$c>0$$.

$$ b-x=\frac{b(1+c)-(a+bc)}{1+c} =\frac{b-a}{1+c}>0. $$

Следовательно, $$a<\frac{a+bc}{1+c}<b$$, то есть точка $$\frac{a+bc}{1+c}$$ лежит внутри отрезка $$[a;b]$$.

Ответ

1) $$\frac{a+b}{2}$$ — середина отрезка $$[a;b]$$.
2) $$\frac{a+bc}{1+c}$$ при $$c>0$$ лежит внутри отрезка $$[a;b]$$.