Упр.1263 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Имеют ли общие точки промежутки:

1. $$[1;\,3\sqrt{2}+2\sqrt{7}]$$ и $$[3\sqrt{3}+4;\,15]$$?
2. $$\left(0;\,\sqrt{27}+\sqrt{6}\right)$$ и $$\left(\sqrt{48}-1;\,10\right)$$?
3. $$[2;\,2\sqrt{5}+2\sqrt{6}]$$ и $$\left(3\sqrt{2}+\sqrt{22};\,11\right)$$?
4. $$[1;\,1+\sqrt{3}]$$ и $$\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1};\,4\right)$$?

1) Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:

$$3\sqrt{2}+2\sqrt{7}=\sqrt{(3\sqrt{2}+2\sqrt{7})^2}=\sqrt{18+12\sqrt{14}+28}=\sqrt{46+\sqrt{2016}}$$

$$1936<2016<2025,\quad 44<\sqrt{2016}<45,$$

значит

$$90<\sqrt{2016}+46<91.$$

Далее:

$$3\sqrt{3}+4=\sqrt{(3\sqrt{3}+4)^2}=\sqrt{27+24\sqrt{3}+16}=\sqrt{43+\sqrt{1728}}$$

$$1681<1728<1764,\quad 41<\sqrt{1728}<42,$$

следовательно

$$84<\sqrt{1728}+43<85.$$

Так как $$3\sqrt{3}+4<3\sqrt{2}+2\sqrt{7},$$ промежутки имеют общую точку.

Ответ: имеют.

2) Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:

$$\sqrt{27}+\sqrt{6}=\sqrt{27+2\sqrt{162}+6}=\sqrt{33+\sqrt{648}}$$

$$625<648<676,\quad 25<\sqrt{648}<26,$$

значит

$$58<33+\sqrt{648}<59.$$

Теперь:

$$\sqrt{48}-1=\sqrt{(\sqrt{48}-1)^2}=\sqrt{48-2\sqrt{48}+1}=\sqrt{49-\sqrt{192}}$$

$$169<192<196,\quad 13<\sqrt{192}<14,$$

следовательно

$$35<49-\sqrt{192}<36.$$

Так как $$\sqrt{48}-1<\sqrt{27}+\sqrt{6},$$ промежутки имеют общую точку.

Ответ: имеют.

3) Сравним правую границу первого промежутка и левую границу второго:

$$2\sqrt{5}+2\sqrt{6}=\sqrt{(2\sqrt{5}+2\sqrt{6})^2}=\sqrt{20+8\sqrt{30}+24}=\sqrt{44+\sqrt{1920}}$$

$$1849<1920<1936,\quad 43<\sqrt{1920}<44,$$

значит

$$87<44+\sqrt{1920}<88.$$

Далее:

$$3\sqrt{2}+\sqrt{22}=\sqrt{(3\sqrt{2}+\sqrt{22})^2}=\sqrt{18+6\sqrt{44}+22}=\sqrt{40+\sqrt{1584}}$$

$$1521<1584<1600,\quad 39<\sqrt{1584}<40,$$

следовательно

$$79<40+\sqrt{1584}<80.$$

Так как $$3\sqrt{2}+\sqrt{22}<2\sqrt{5}+2\sqrt{6},$$ промежутки имеют общую точку.

Ответ: имеют.

4) Сравним левую границу второго промежутка с правой границей первого:

$$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\sqrt{3}+1.$$

Тогда второй промежуток начинается с числа $$\sqrt{3}+1,$$ а первый заканчивается на $$1+\sqrt{3}.$$

Так как второй промежуток открыт слева, а первый закрыт справа, общих точек нет.

Ответ: не имеют.