Упр.1262 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1262 Пусть а — рациональное число, b — иррациональное число, а =/ 0, b =/ 0. Доказать, что а + b, а * b, b/a — иррациональные числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1262 1111

Пусть $$a$$ — рациональное число, $$b$$ — иррациональное число, причём $$a \ne 0$$ и $$b \ne 0$$. Докажем, что числа $$a+b$$, $$ab$$, $$\frac{a}{b}$$ и $$\frac{b}{a}$$ иррациональны.

1. Докажем, что $$a+b$$ — иррациональное число.

   Предположим противное: $$a+b=c$$, где $$c$$ — рациональное число. Тогда

   $$b=c-a.$$

   Правая часть — разность двух рациональных чисел, значит, $$b$$ рационально. Это противоречит условию. Следовательно, $$a+b$$ — иррациональное число.

2. Докажем, что $$ab$$ — иррациональное число.

   Предположим противное: $$ab=c$$, где $$c$$ — рациональное число. Так как $$a \ne 0$$, то

   $$b=\frac{c}{a}.$$

   Правая часть — частное двух рациональных чисел, значит, $$b$$ рационально. Получили противоречие. Следовательно, $$ab$$ — иррациональное число.

3. Докажем, что $$\frac{a}{b}$$ — иррациональное число.

   Предположим противное: $$\frac{a}{b}=c$$, где $$c$$ — рациональное число. Тогда

   $$a=bc,$$

   откуда

   $$b=\frac{a}{c}.$$

   Так как $$a$$ и $$c$$ рациональны, то $$b$$ рационально, что противоречит условию. Значит, $$\frac{a}{b}$$ — иррациональное число.

4. Докажем, что $$\frac{b}{a}$$ — иррациональное число.

   Предположим противное: $$\frac{b}{a}=c$$, где $$c$$ — рациональное число. Тогда

   $$b=ac.$$

   Правая часть — произведение двух рациональных чисел, значит, $$b$$ рационально. Противоречие. Следовательно, $$\frac{b}{a}$$ — иррациональное число.

Ответ

$$a+b,\;ab,\;\frac{a}{b},\;\frac{b}{a}$$ — иррациональные числа.