Упр.1261 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что если а и b — натуральные числа и $$\sqrt{ab}$$ — рациональное число, то также рациональное число, а если $$\sqrt{ab}$$ — иррациональное число, то и $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ — иррациональное число.

Пусть $$a,b\in \mathbb{N}.$$

Рассмотрим число $$\sqrt{\frac{a}{b}}.$$ Тогда

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{ab}{b^2}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}.$$

Если $$\sqrt{ab}$$ — рациональное число, то и $$b$$ — натуральное, значит, $$\frac{\sqrt{ab}}{b}$$ рационально. Следовательно, $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ — рациональное число.

Если же $$\sqrt{ab}$$ — иррациональное число, то при делении иррационального числа на ненулевое рациональное число получаем иррациональное число. Значит, $$\frac{\sqrt{ab}}{b}$$ иррационально, а значит, и $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ иррационально.

Ответ

Если $$\sqrt{ab}$$ рационально, то $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ рационально; если $$\sqrt{ab}$$ иррационально, то $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ иррационально.