Упр.1261 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1261 Доказать, что если а и b — натуральные числа и корень ab — рациональное число, то — также рациональное число, а если корень ab — иррациональное число, то и корень (a/b) — иррациональное число. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1261 1111

Пусть $$a,b \in \mathbb{N}.$$ Рассмотрим число

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{ab}{b^2}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}.$$

1) Если $$\sqrt{ab}$$ — рациональное число, то и $$\frac{\sqrt{ab}}{b}$$ рационально, так как $$b$$ — натуральное число. Значит, $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ рационально.

2) Если $$\sqrt{ab}$$ — иррациональное число, то число $$\frac{\sqrt{ab}}{b}$$ тоже иррационально, поскольку деление иррационального числа на ненулевое рациональное число не может дать рациональное число. Следовательно, $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ иррационально.

Ответ

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}.$$ Если $$\sqrt{ab}$$ рационально, то $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ рационально; если $$\sqrt{ab}$$ иррационально, то $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ иррационально.