Упр.1260 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Может ли быть рациональным числом: 1) сумма двух положительных иррациональных чисел; 2) произведение двух иррациональных чисел; 3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?

1) Да, может. Например,

$$\left(2-\sqrt{2}\right)+\left(2+\sqrt{2}\right)=4.$$

Оба слагаемых положительные и иррациональные, а сумма — рациональное число.

2) Да, может. Например,

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.$$

Произведение двух иррациональных чисел может быть рациональным.

3) Да, может. Например, возьмём

$$a=2-\sqrt{2}, \qquad b=2+\sqrt{2}.$$

Тогда числа $$a$$ и $$b$$ положительные, иррациональные и не равны, а

$$\frac{a+b}{ab}=\frac{4}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{4}{4-2}=2.$$

Значит, и такое частное может быть рациональным.

Ответ: 1) да; 2) да; 3) да.