Упр.126 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти промежутки, на которых график функции: 1) $$y=x^8$$; 2) $$y=x^{1/3}$$ — лежит выше (ниже) графика функции $$y=x$$.

1) Сравним функции $$y=x^8$$ и $$y=x$$.

Найдём, где $$x^8>x$$:

$$x^8-x>0 \\\\ x(x^7-1)>0 \\\\ x(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)>0.$$

Так как $$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$, получаем:

$$x(x-1)>0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$

Значит, $$y=x^8$$ лежит выше $$y=x$$ при $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$, а ниже — при $$x\in(0;1).$$

2) Сравним функции $$y=x^{1/3}$$ и $$y=x$$.

Найдём, где $$x^{1/3}>x$$:

$$x^{1/3}-x>0 \\\\ x^{1/3}(1-x^{2/3})>0.$$

Положим $$t=x^{1/3}$$. Тогда $$x=t^3$$, и неравенство принимает вид

$$t-t^3>0 \\\\ t(1-t^2)>0 \\\\ t(1-t)(1+t)>0.$$

С учётом области определения $$x\in\mathbb{R}$$ получаем:

$$x\in(0;1).$$

Следовательно, $$y=x^{1/3}$$ лежит выше $$y=x$$ при $$x\in(0;1)$$, а ниже — при $$x\in(1;+\infty).$$

Ответ: 1) $$y=x^8$$ выше $$y=x$$ при $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$, ниже при $$x\in(0;1)$$; 2) $$y=x^{1/3}$$ выше $$y=x$$ при $$x\in(0;1)$$, ниже при $$x\in(1;+\infty)$$.