Упр.126 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = х8; 2) у = х1/3 — лежит выше (ниже) графика функции у = х.

1) Сравним функции $$y=x^8$$ и $$y=x$$. Нужно решить неравенство

$$x^8>x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^8-x>0$$

$$x(x^7-1)>0$$

$$x(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)>0.$$

Так как $$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$, знак произведения определяется выражением $$x(x-1)$$. Тогда

$$x(x-1)>0,$$

откуда

$$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$

На промежутке $$x\in(0;1)$$ выполняется $$x^8<x$$.

2) Сравним функции $$y=x^{1/3}$$ и $$y=x$$. Для точки пересечения решим уравнение

$$x^{1/3}=x.$$

Возведём обе части в куб:

$$x=x^3$$

$$x^3-x=0$$

$$x(x^2-1)=0$$

$$x(x-1)(x+1)=0.$$

С учётом области определения функции $$y=x^{1/3}$$ получаем точки пересечения $$x=-1,0,1$$. Проверим знаки на промежутках:

при $$x\in(0;1)$$ имеем $$x^{1/3}>x$$,

при $$x\in(1;+\infty)$$ имеем $$x^{1/3}<x$$.

Для отрицательных $$x$$ функция $$y=x^{1/3}$$ также определена, и на промежутке $$(-\infty;0)$$ график $$y=x^{1/3}$$ лежит ниже графика $$y=x$$.

Ответ

1) $$y=x^8$$ выше графика $$y=x$$ при $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$, ниже — при $$x\in(0;1)$$.

2) $$y=x^{1/3}$$ выше графика $$y=x$$ при $$x\in(0;1)$$, ниже — при $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$.