Упр.1252 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Какое из чисел больше: $$1252$$ или $$1111$$?

1) $$\sqrt{18} \text{ или } 4^{\log_2 3+\log_4 \frac{5}{11}}$$

Преобразуем второе число:

$$4^{\log_2 3+\log_4 \frac{5}{11}}=4^{\log_2 3}\cdot 4^{\log_4 \frac{5}{11}}=2^{2\log_2 3}\cdot \frac{5}{11}=3^2\cdot \frac{5}{11}=\frac{45}{11}.$$

Сравним:

$$\sqrt{18}=\sqrt{\frac{2025}{121}}=\frac{45}{11},$$

то есть

$$\sqrt{18}>\frac{45}{11}.$$

Ответ: $$\sqrt{18}.$$

2) $$\sqrt[3]{18} \text{ или } \left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2-\frac12\log_{\sqrt6} 5}$$

Преобразуем второе число:

$$\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2-\frac12\log_{\sqrt6} 5}=(6^{-1})^{\log_6 2-\frac12\log_{\sqrt6} 5}.$$

Так как $$\log_{\sqrt6} 5=\frac{\log_6 5}{\log_6 \sqrt6}=2\log_6 5,$$ то

$$\log_6 2-\frac12\log_{\sqrt6} 5=\log_6 2-\log_6 5=\log_6 \frac{2}{5}.$$

Тогда

$$\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2-\frac12\log_{\sqrt6} 5}=6^{-\log_6 \frac{2}{5}}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{2}.$$

Сравним числа:

$$\left(\sqrt[3]{18}\right)^3=18,\qquad \left(\frac{5}{2}\right)^3=\frac{125}{8},$$

а значит

$$18>\frac{125}{8},$$

следовательно,

$$\sqrt[3]{18}>\frac{5}{2}.$$

Ответ: $$\sqrt[3]{18}.$$