Упр.1250 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Сравнить числа:
   
   1) $$2{,}5^{\frac{1}{7}}$$ и $$2{,}5^{0{,}5}$$;
   
   2) $$0{,}2^{\frac{2}{3}}$$ и $$0{,}2^{\frac{3}{4}}$$;
   
   3) $$\log_{3{,}1}\sqrt{10}$$ и $$\log_{3{,}1}3$$;
   
   4) $$\log_{0{,}3}\frac{4}{5}$$ и $$\log_{0{,}3}\frac{3}{4}$$.

Так как в пунктах 1) и 2) основания степеней одинаковые, сравним показатели. Если основание больше $$1$$, то функция $$y=a^x$$ возрастает, а если $$0<a<1$$, то убывает.

1. $$2{,}5^{\frac17}\ \text{и}\ 2{,}5^{0{,}5}$$

   Так как $$2{,}5>1,$$ функция $$y=2{,}5^x$$ возрастает. Сравним показатели:

   $$\frac17<\frac12,$$

   значит,

   $$2{,}5^{\frac17}<2{,}5^{0{,}5}.$$

2. $$0{,}2^{\frac23}\ \text{и}\ 0{,}2^{\frac34}$$

   Так как $$0{,}2<1,$$ функция $$y=0{,}2^x$$ убывает. Сравним показатели:

   $$\frac23=\frac{8}{12},\qquad \frac34=\frac{9}{12},\qquad \frac{8}{12}<\frac{9}{12}.$$

   Для убывающей функции большему показателю соответствует меньшее значение, поэтому

   $$0{,}2^{\frac23}>0{,}2^{\frac34}.$$

3. $$\log_{3{,}1}\sqrt{10}\ \text{и}\ \log_{3{,}1}3$$

   Так как $$3{,}1>1,$$ функция $$y=\log_{3{,}1}x$$ возрастает. Сравним аргументы:

   $$\sqrt{10}>3,\qquad \text{так как}\ \sqrt{10}^2=10>9=3^2.$$

   Следовательно,

   $$\log_{3{,}1}\sqrt{10}>\log_{3{,}1}3.$$

4. $$\log_{0{,}3}\frac45\ \text{и}\ \log_{0{,}3}\frac34$$

   Так как $$0{,}3<1,$$ функция $$y=\log_{0{,}3}x$$ убывает. Сравним аргументы:

   $$\frac45=\frac{16}{20},\qquad \frac34=\frac{15}{20},\qquad \frac{16}{20}>\frac{15}{20}.$$

   Для убывающей функции большему аргументу соответствует меньшее значение, значит

   $$\log_{0{,}3}\frac45<\log_{0{,}3}\frac34.$$

Ответ:

1) $$2{,}5^{\frac17}<2{,}5^{0{,}5}$$

2) $$0{,}2^{\frac23}>0{,}2^{\frac34}$$

3) $$\log_{3{,}1}\sqrt{10}>\log_{3{,}1}3$$

4) $$\log_{0{,}3}\frac45<\log_{0{,}3}\frac34$$