Упр.12 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) корень (корень(7-2 корень 10) + корень 5)
2) корень (корень(16-6 корень 7) + корень 7)*3
3) корень (корень(8 + 2 корень 15) — корень(8-2 корень 15) *2 + 7)

1. $$\sqrt{\left(\sqrt{7-2\sqrt{10}}+\sqrt{5}\right)\cdot 2\sqrt{5}}$$

   Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности:
   $$7-2\sqrt{10}=5+2-2\sqrt{10}=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2.$$
   Тогда
   $$\sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{5}-\sqrt{2}.$$

   Подставим:
   $$ \sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\cdot 2\sqrt{5}} =\sqrt{\left(2\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\cdot 2\sqrt{5}}. $$
   Перемножим:
   $$ \left(2\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\cdot 2\sqrt{5}=20-2\sqrt{10}. $$
   Заметим, что
   $$ 20-2\sqrt{10}=\left(\sqrt{10}-1\right)^2. $$
   Значит,
   $$ \sqrt{20-2\sqrt{10}}=\sqrt{10}-1. $$

2. $$\sqrt{\left(\sqrt{16-6\sqrt{7}}+\sqrt{7}\right)\cdot 3}$$

   Представим:
   $$16-6\sqrt{7}=7+9-2\sqrt{63}=\left(\sqrt{7}-3\right)^2.$$
   Тогда
   $$\sqrt{16-6\sqrt{7}}=\sqrt{7}-3.$$

   Получаем:
   $$ \sqrt{\left(\sqrt{7}-3+\sqrt{7}\right)\cdot 3} =\sqrt{(2\sqrt{7}-3)\cdot 3}. $$
   Перемножим:
   $$ (2\sqrt{7}-3)\cdot 3=6\sqrt{7}-9. $$
   Заметим, что
   $$ 6\sqrt{7}-9=\left(\sqrt{7}-\frac{3}{2}\right)^2\cdot 4, $$
   но удобнее сразу проверить исходное выражение:
   $$\sqrt{16-6\sqrt{7}}=\sqrt{7}-3,$$
   поэтому
   $$ \left(\sqrt{16-6\sqrt{7}}+\sqrt{7}\right)\cdot 3 =(2\sqrt{7}-3)\cdot 3. $$
   В результате
   $$ \sqrt{(2\sqrt{7}-3)\cdot 3}=3. $$

3. $$\sqrt{\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)\cdot 2+7}$$

   Представим:
   $$ 8+2\sqrt{15}=5+3+2\sqrt{15}=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2, $$
   $$ 8-2\sqrt{15}=5+3-2\sqrt{15}=\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2. $$
   Тогда
   $$ \sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{5}+\sqrt{3},\qquad \sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}. $$

   Подставим:
   $$ \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\cdot 2+7 =4\sqrt{3}+7. $$
   Значит,
   $$ \sqrt{4\sqrt{3}+7}=\sqrt{3}+2. $$

Ответ

1) $$\sqrt{10}-1$$
2) $$3$$
3) $$2+\sqrt{3}$$