Упр.118 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 118. Доказать, что корень 3 степени (7+5 корень 2)+ корень 3 степени (7-5 корень 2)=2.

Преобразуем выражение под каждым кубическим корнем:

$$7+5\sqrt2=1+6+2\sqrt2+3\sqrt2=1^3+3\cdot1^2\sqrt2+3\cdot1\cdot2+(\sqrt2)^3=(1+\sqrt2)^3,$$
$$7-5\sqrt2=1+6-2\sqrt2-3\sqrt2=1^3-3\cdot1^2\sqrt2+3\cdot1\cdot2-(\sqrt2)^3=(1-\sqrt2)^3.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2}=\sqrt[3]{(1+\sqrt2)^3}+\sqrt[3]{(1-\sqrt2)^3}.$$

Так как кубический корень из куба числа равен самому числу, получаем:

$$1+\sqrt2+1-\sqrt2=2.$$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

$$2$$