Упр.116 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1)

$$\left(\frac{4a^2-9a^{-2}}{2a-3a^{-1}}+\frac{a^2-4+3a^{-2}}{a-a^{-1}}\right)^2 = \left(\frac{(2a-3a^{-1})(2a+3a^{-1})}{2a-3a^{-1}}+\frac{a^2-4+3a^{-2}}{a-a^{-1}}\right)^2$$
$$= \left((2a+3a^{-1})+\frac{a^2-4+3a^{-2}}{a-a^{-1}}\right)^2 = \left(\frac{(2a+3a^{-1})(a-a^{-1})+a^2-4+3a^{-2}}{a-a^{-1}}\right)^2$$
$$= \left(\frac{2a^2-2+3-3a^{-2}+a^2-4+3a^{-2}}{a-a^{-1}}\right)^2 = \left(\frac{3a^2-3}{a-a^{-1}}\right)^2$$
$$= \left(\frac{3a(a-a^{-1})}{a-a^{-1}}\right)^2 = (3a)^2 = 9a^2.$$

Ответ: $$9a^2$$

2)

$$\left(\frac{1}{(a+b)^{-2}}-\left(\frac{a-b}{a^3+b^3}\right)^{-1}\right)\cdot (ab)^{-1}$$
$$= \left((a+b)^2-\frac{a^3+b^3}{a-b}\right)\cdot \frac{1}{ab}$$
$$= \frac{(a+b)^2(a-b)-(a^3+b^3)}{ab(a-b)}$$
$$= \frac{(a^2+2ab+b^2)(a-b)-a^3-b^3}{ab(a-b)}$$
$$= \frac{a^3+a^2b- a b^2-b^3+2a^2b-2ab^2+b^2a-b^3-a^3-b^3}{ab(a-b)}$$
$$= \frac{ab(a-b)}{ab(a-b)} = 1.$$

Ответ: $$1$$