Упр.115 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Решение

1. $$\left(\frac{a^{\frac43}b+ab^{\frac43}}{\frac1{a^{\frac13}+b^{\frac13}}\cdot \frac1{a^{\frac13}b^{\frac13}}}\right)^3$$
   $$=\left(\frac{ab\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right)}{\frac1{a^{\frac13}+b^{\frac13}}\cdot \frac1{a^{\frac13}b^{\frac13}}}\right)^3 =\left(ab\cdot a^{\frac13}b^{\frac13}\right)^3$$
   $$=\left(a^{\frac43}b^{\frac43}\right)^3=a^4b^4?$$

   Упростим аккуратно:
   $$a^{\frac43}b+ab^{\frac43}=ab\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right),$$
   поэтому
   $$\left(\frac{a^{\frac43}b+ab^{\frac43}}{\frac1{a^{\frac13}+b^{\frac13}}\cdot \frac1{a^{\frac13}b^{\frac13}}}\right)^3 =\left(ab\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right)\cdot \left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right)\cdot a^{\frac13}b^{\frac13}\right)^3.$$
   После сокращения получаем
   $$\left(a^{\frac23}b^{\frac23}\right)^3=a^2b^2.$$

   Ответ: $$a^2b^2$$

2. $$\frac{a^{\frac13}-b^{\frac13}}{\sqrt[3]{ab}}\cdot \frac{ab^{\frac13}-a^{\frac13}b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$
   $$=\frac{a^{\frac13}-b^{\frac13}}{a^{\frac13}b^{\frac13}}\cdot \frac{ab^{\frac13}-a^{\frac13}b}{a^{\frac13}+b^{\frac13}}.$$

   Преобразуем второй множитель:
   $$ab^{\frac13}-a^{\frac13}b=a^{\frac13}b^{\frac13}\left(a^{\frac23}-b^{\frac23}\right) =a^{\frac13}b^{\frac13}\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right).$$
   Тогда
   $$\frac{a^{\frac13}-b^{\frac13}}{a^{\frac13}b^{\frac13}}\cdot \frac{a^{\frac13}b^{\frac13}\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right)}{a^{\frac13}+b^{\frac13}} =\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)^2.$$

   Значит,
   $$\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2.$$

   Ответ: $$\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2$$

3. $$\frac{a^{\frac23}-b^{\frac23}}{a^{\frac13}+b^{\frac13}}\cdot \frac{a^{\frac23}+\sqrt[3]{ab}+b^{\frac23}}{a-b}.$$

   Используем формулы:
   $$a^{\frac23}-b^{\frac23}=\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right),$$
   $$a-b=\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}+\sqrt[3]{ab}+b^{\frac23}\right).$$
   Тогда
   $$\frac{\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right)}{a^{\frac13}+b^{\frac13}}\cdot \frac{a^{\frac23}+\sqrt[3]{ab}+b^{\frac23}}{\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}+\sqrt[3]{ab}+b^{\frac23}\right)}=1.$$

   Ответ: $$1$$

4. $$\frac{a^{\frac43}-b^{\frac43}}{a^{\frac13}+b^{\frac13}}\cdot \frac{a^{\frac23}+\sqrt[3]{ab}+b^{\frac23}}{a-b}.$$

   Разложим:
   $$a^{\frac43}-b^{\frac43}=\left(a^{\frac23}-b^{\frac23}\right)\left(a^{\frac23}+b^{\frac23}\right),$$
   $$a^{\frac23}-b^{\frac23}=\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right),$$
   $$a-b=\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}+\sqrt[3]{ab}+b^{\frac23}\right).$$
   Тогда
   $$\frac{\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac13}+b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}+b^{\frac23}\right)}{a^{\frac13}+b^{\frac13}}\cdot \frac{a^{\frac23}+\sqrt[3]{ab}+b^{\frac23}}{\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}+\sqrt[3]{ab}+b^{\frac23}\right)}$$
   $$=a^{\frac23}+b^{\frac23}=a^2+b^2.$$

   Ответ: $$a^2+b^2$$