Упр.1147 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Бросаются две игральные кости и рассматриваются события:
- А — на первой кости выпало число $$6$$, В — на второй кости выпало чётное число;
- А — на первой кости выпало нечётное число, В — на второй кости выпало число, кратное $$3$$.
Убедиться с помощью формулы $$(1)$$ в независимости событий А и В.
1) Всего при бросании двух костей $$6 \cdot 6 = 36$$ равновозможных исходов.
Событие $$A$$: на первой кости выпало число $$6$$. Тогда благоприятных исходов $$6$$, значит
$$P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$
Событие $$B$$: на второй кости выпало чётное число $$2,4,6$$. Благоприятных исходов $$3 \cdot 6=18$$, поэтому
$$P(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}.$$
Событие $$AB$$: на первой кости выпало $$6$$, на второй — чётное число. Благоприятных исходов $$3$$: $$(6,2), (6,4), (6,6).$$ Тогда
$$P(AB)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.$$
Проверим формулу независимости:
$$P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}=P(AB).$$
Следовательно, события независимы.
2) Всего снова $$36$$ равновозможных исходов.
Событие $$A$$: на первой кости выпало нечётное число $$1,3,5$$. Тогда
$$P(A)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}.$$
Событие $$B$$: на второй кости выпало число, кратное $$3$$, то есть $$3$$ или $$6$$. Тогда
$$P(B)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}.$$
Событие $$AB$$: на первой кости выпало нечётное число, на второй — число, кратное $$3$$. Благоприятных исходов $$3 \cdot 2=6$$, значит
$$P(AB)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$
Проверим:
$$P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=P(AB).$$
Следовательно, события независимы.
Ответ: 1) независимы; 2) независимы.
