Упр.114 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

114.

1. $$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}$$
   Представим корни через степени:
   $$\sqrt{x}=\left(\sqrt[4]{x}\right)^2,\qquad \sqrt{y}=\left(\sqrt[4]{y}\right)^2,\qquad \sqrt[4]{xy}=\sqrt[4]{x}\sqrt[4]{y}.$$
   Тогда
   $$\frac{\left(\sqrt[4]{x}\right)^2-\left(\sqrt[4]{y}\right)^2}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}-\frac{\sqrt[4]{x}\left(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\right)}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}.$$
   Используем формулу разности квадратов:
   $$\frac{\left(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}\right)\left(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\right)}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}-\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}-\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{y}.$$

2. $$\frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}-\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$$
   Положим $$a=\sqrt[3]{x},\ b=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда $$x=a^3,\ y=b^3,$$ и
   $$\frac{a^3-b^3}{a-b}-\frac{a^3+b^3}{a+b}.$$
   Разложим суммы и разности кубов:
   $$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}-\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b}=a^2+ab+b^2-a^2+ab-b^2=2ab.$$
   Возвращаясь к переменным $$x$$ и $$y$$, получаем
   $$2\sqrt[3]{xy}.$$

3. $$\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}}+\sqrt[3]{y}$$
   Обозначим $$a=\sqrt[4]{x},\ b=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда $$\sqrt{x}=a^2,\ \sqrt[3]{y^2}=b^2,$$ и выражение равно
   $$\frac{a^2-b^2}{a+b}+b=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}+b=a-b+b=a.$$
   Значит,
   $$\sqrt[4]{x}.$$

4. $$\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}-1$$
   Пусть $$a=\sqrt{x},\ b=\sqrt{y}.$$ Тогда $$x=a^2,\ y=b^2,$$ и
   $$\frac{a^3-b^3}{a^2b-ab^2}-1.$$
   Вынесем множители:
   $$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{ab(a-b)}-1=\frac{a^2+ab+b^2}{ab}-1.$$
   Тогда
   $$\frac{a^2+ab+b^2-ab}{ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}.$$
   Возвращаясь к $$x$$ и $$y$$, получаем
   $$\frac{x+y}{\sqrt{xy}}.$$

Ответ

1. $$\sqrt[4]{y}$$
2. $$2\sqrt[3]{xy}$$
3. $$\sqrt[4]{x}$$
4. $$\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$$