Упр.1114 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти член разложения бинома:
1) $$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{15}$$, содержащий $$x^{\frac{1}{3}}$$;
2) $$\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)^{14}$$, содержащий $$x^2$$;
3) $$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}+\sqrt[3]{x}\right)^{16}$$, содержащий $$x^{-\frac{13}{12}}$$;
4) $$\left(\sqrt[5]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{13}$$, содержащий $$x^{-0{,}6}$$.
Общий член разложения бинома Ньютона имеет вид:
$$C_n^k a^{\,n-k}b^k.$$
Для $$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{15}$$ общий член равен
$$C_{15}^n\left(x^{1/3}\right)^{15-n}\left(x^{-1/3}\right)^n=C_{15}^n x^{5-\frac{2n}{3}}.$$
Найдём член, содержащий $$x^{1/3}$$:
$$5-\frac{2n}{3}=\frac13,$$
$$15-2n=1,\qquad 2n=14,\qquad n=7.$$
Тогда
$$C_{15}^7=\frac{15!}{7!\,8!}=6435.$$
Искомый член: $$6435x^{1/3}.$$
Для $$\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)^{14}$$ общий член равен
$$C_{14}^n\left(x^{-1/2}\right)^{14-n}\left(x^{1/2}\right)^n=C_{14}^n x^{-7+n}.$$
Найдём член, содержащий $$x^2$$:
$$-7+n=2,\qquad n=9.$$
Тогда
$$C_{14}^9=\frac{14!}{9!\,5!}=2002.$$
Искомый член: $$2002x^2.$$
Для $$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}+\sqrt[3]{x}\right)^{16}$$ общий член равен
$$C_{16}^n\left(x^{-1/4}\right)^{16-n}\left(x^{1/3}\right)^n=C_{16}^n x^{-4+\frac{7n}{12}}.$$
Найдём член, содержащий $$x^{-13/12}$$:
$$-4+\frac{7n}{12}=-\frac{13}{12},$$
$$-48+7n=-13,\qquad 7n=35,\qquad n=5.$$
Тогда
$$C_{16}^5=\frac{16!}{5!\,11!}=4368.$$
Искомый член: $$4368x^{-13/12}.$$
Для $$\left(\sqrt[5]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{13}$$ общий член равен
$$C_{13}^n\left(x^{1/5}\right)^{13-n}\left(x^{-1/3}\right)^n=C_{13}^n x^{\frac{13}{5}-\frac{8n}{15}}.$$
Найдём член, содержащий $$x^{-0{,}6}=-\frac35$$:
$$\frac{13}{5}-\frac{8n}{15}=-\frac35,$$
$$39-8n=-9,\qquad 8n=48,\qquad n=6.$$
Тогда
$$C_{13}^6=\frac{13!}{6!\,7!}=1716.$$
Искомый член: $$1716x^{-0{,}6}.$$
Ответ
1) $$6435x^{1/3}$$; 2) $$2002x^2$$; 3) $$4368x^{-13/12}$$; 4) $$1716x^{-0{,}6}$$.
