Упр.111 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 111. Сравнить числа a и b, если: *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 111 1111

1. $$a=\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}+\frac{5}{3+2\sqrt2}, \qquad b=\frac{2}{\sqrt8-\sqrt5}$$

   Сравним знаменатели:

   $$\sqrt5-\sqrt3<\sqrt8-\sqrt5$$

   Так как числитель в обеих дробях одинаковый и положительный, то при меньшем знаменателе дробь больше:

   $$\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}>\frac{2}{\sqrt8-\sqrt5}$$

   Кроме того, $$\frac{5}{3+2\sqrt2}>0$$, значит

   $$a>\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}>\frac{2}{\sqrt8-\sqrt5}=b$$

2. $$a=\sqrt2+\sqrt3, \qquad b=\sqrt{10}$$

   Сравним квадраты:

   $$a^2=(\sqrt2+\sqrt3)^2=2+3+2\sqrt6=5+2\sqrt6$$

   $$5+2\sqrt6<10$$, так как $$2\sqrt6<5$$.

   Следовательно, $$a^2<b^2$$, а числа положительные, значит

   $$a<b$$

3. $$a=5-\sqrt{15}, \qquad b=\sqrt{17}-3$$

   Сравним квадраты дополнений к 5 и 3:

   $$a>b \iff 5-\sqrt{15}>\sqrt{17}-3$$

   $$8>\sqrt{15}+\sqrt{17}$$

   Возведём в квадрат:

   $$64>15+17+2\sqrt{255}$$

   $$32&gt{2}\sqrt{255}$$

   $$16>\sqrt{255}$$

   $$256>255$$

   Неравенство верно, значит

   $$a>b$$

4. $$a=\sqrt{13}-\sqrt{12}, \qquad b=\sqrt{12}-\sqrt{11}$$

   Сравним:

   $$a<b \iff \sqrt{13}-\sqrt{12}<\sqrt{12}-\sqrt{11}$$

   $$\sqrt{13}+\sqrt{11}<2\sqrt{12}$$

   Возведём в квадрат:

   $$13+11+2\sqrt{143}<48$$

   $$2\sqrt{143}<24$$

   $$\sqrt{143}<12$$

   $$143<144$$

   Неравенство верно, значит

   $$a<b$$

Ответ

1. $$a>b$$
2. $$a<b$$
3. $$a>b$$
4. $$a<b$$