Упр.111 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Сравнить числа $$a$$ и $$b$$, если:

1) $$a=\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}+\frac{5}{3+2\sqrt2},\qquad b=\frac{2}{\sqrt8-\sqrt5}.$$

Сравним слагаемые:

$$\sqrt5-\sqrt3<\sqrt8-\sqrt5,$$

значит,

$$\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}>\frac{2}{\sqrt8-\sqrt5}.$$

Кроме того, $$\frac{5}{3+2\sqrt2}>0,$$ поэтому

$$a>\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}>\frac{2}{\sqrt8-\sqrt5}=b.$$

Ответ: $$a>b.$$

2) $$a=\sqrt2+\sqrt3,\qquad b=\sqrt{10}.$$

Возведём в квадрат:

$$a^2=(\sqrt2+\sqrt3)^2=2+3+2\sqrt6=5+2\sqrt6.$$

Сравним с $$10$$:

$$5+2\sqrt6<10,$$

так как

$$2\sqrt6<5 \iff 24<25.$$

Значит, $$a^2<b^2,$$ а числа положительные, следовательно,

$$a<b.$$

Ответ: $$a<b.$$

3) $$a=5-\sqrt{15},\qquad b=\sqrt{17}-3.$$

Сравним числа, прибавив к ним по $$3$$ и возведя в квадрат:

$$5-\sqrt{15}>\sqrt{17}-3 \iff 8>\sqrt{17}+\sqrt{15}.$$

Возведём в квадрат:

$$64>17+15+2\sqrt{255},$$

$$32&gt{2}\sqrt{255},$$

$$16>\sqrt{255}.$$

Это верно, так как

$$256>255.$$

Следовательно,

$$a>b.$$

Ответ: $$a>b.$$

4) $$a=\sqrt{13}-\sqrt{12},\qquad b=\sqrt{12}-\sqrt{11}.$$

Сравним, возведя в квадрат:

$$a<b \iff \sqrt{13}-\sqrt{12}<\sqrt{12}-\sqrt{11}$$

$$\iff \sqrt{13}+\sqrt{11}<2\sqrt{12}.$$

Возведём в квадрат:

$$13+11+2\sqrt{143}<48,$$

$$2\sqrt{143}<24,$$

$$\sqrt{143}<12.$$

Это верно, так как

$$143<144.$$

Значит,

$$a<b.$$

Ответ: $$a<b.$$