Упр.1106 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Записать разложение бинома:
   1) $$\left(2-x\right)^5$$;
   2) $$\left(x-5\right)^5$$;
   3) $$\left(a+3\right)^4$$;
   4) $$\left(3+a\right)^5$$;
   5) $$\left(x-1\right)^8$$;
   6) $$\left(1-x\right)^7$$;
   7) $$\left(x+\frac{1}{x}\right)^6$$;
   8) $$\left(2a+\frac{1}{2}\right)^6$$.

Используем формулу бинома Ньютона:

$$$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\dots+C_n^nb^n$$$

1. $$$(2-x)^5=2^5+5\cdot 2^4(-x)+10\cdot 2^3(-x)^2+10\cdot 2^2(-x)^3+5\cdot 2(-x)^4+(-x)^5$$$

   $$$=32-80x+80x^2-40x^3+10x^4-x^5$$$

2. $$$(x-5)^5=x^5+5x^4(-5)+10x^3(-5)^2+10x^2(-5)^3+5x(-5)^4+(-5)^5$$$

   $$$=x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x-3125$$$

3. $$$(a+3)^4=a^4+4a^3\cdot 3+6a^2\cdot 3^2+4a\cdot 3^3+3^4$$$

   $$$=a^4+12a^3+54a^2+108a+81$$$

4. $$$(3+a)^5=3^5+5\cdot 3^4a+10\cdot 3^3a^2+10\cdot 3^2a^3+5\cdot 3a^4+a^5$$$

   $$$=a^5+15a^4+90a^3+270a^2+405a+243$$$

5. $$$(x-1)^8=x^8+8x^7(-1)+28x^6(-1)^2+56x^5(-1)^3+70x^4(-1)^4+56x^3(-1)^5+28x^2(-1)^6+8x(-1)^7+(-1)^8$$$

   $$$=x^8-8x^7+28x^6-56x^5+70x^4-56x^3+28x^2-8x+1$$$

6. $$$(1-x)^7=1^7+7\cdot 1^6(-x)+21\cdot 1^5(-x)^2+35\cdot 1^4(-x)^3+35\cdot 1^3(-x)^4+21\cdot 1^2(-x)^5+7\cdot 1(-x)^6+(-x)^7$$$

   $$$=1-7x+21x^2-35x^3+35x^4-21x^5+7x^6-x^7$$$

7. $$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^6=x^6+6x^5\cdot \frac{1}{x}+15x^4\cdot \frac{1}{x^2}+20x^3\cdot \frac{1}{x^3}+15x^2\cdot \frac{1}{x^4}+6x\cdot \frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^6}$$$

   $$$=x^6+6x^4+15x^2+20+15x^{-2}+6x^{-4}+x^{-6}$$$

8. $$$\left(2a+\frac{1}{2}\right)^6=(2a)^6+6(2a)^5\cdot \frac{1}{2}+15(2a)^4\cdot \frac{1}{2^2}+20(2a)^3\cdot \frac{1}{2^3}+15(2a)^2\cdot \frac{1}{2^4}+6(2a)\cdot \frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}$$$

   $$$=64a^6+96a^5+60a^4+20a^3+\frac{15}{4}a^2+\frac{3}{8}a+\frac{1}{64}$$$