Упр.110 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить выражение $$a=(4-3\sqrt{2})^2+8\sqrt{34-24\sqrt{2}}-\sqrt{5}$$. Сравнить полученное число с нулём.

$$a=(4-3\sqrt2)^2+8\sqrt{34-24\sqrt2}-\sqrt5$$

Преобразуем выражение под корнем:

$$34-24\sqrt2=18+16-24\sqrt2=(3\sqrt2-4)^2$$

Тогда

$$\sqrt{34-24\sqrt2}=\sqrt{(3\sqrt2-4)^2}=3\sqrt2-4,$$

так как $$3\sqrt2-4>0.$$

Теперь упростим всё выражение:

$$\begin{aligned} a&=(4-3\sqrt2)^2+8(3\sqrt2-4)-\sqrt5 \\ &=16-24\sqrt2+18+24\sqrt2-32-\sqrt5 \\ &=2-\sqrt5. \end{aligned}$$

Сравним с нулём:

$$\sqrt5>2,$$

значит

$$2-\sqrt5<0.$$

Ответ

$$a=2-\sqrt5,\quad a<0.$$