Упр.11 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Сравнить числовые значения выражений:

1. $$\sqrt{3{,}9}+\sqrt{8}$$ и $$\sqrt{1{,}1}+\sqrt{7}$$;
2. $$\sqrt{11}-\sqrt{2{,}1}$$ и $$\sqrt{10}-\sqrt{3{,}1}$$.

1) Сравним числа $$\sqrt{3,9}+\sqrt{8}$$ и $$\sqrt{1,1}+\sqrt{17}.$$

Оценим каждое слагаемое:

$$1<3,9<4 \Rightarrow 1<\sqrt{3,9}<2,$$
$$4<8<9 \Rightarrow 2<\sqrt{8}<3.$$

Тогда

$$3<\sqrt{3,9}+\sqrt{8}<5.$$

Аналогично:

$$1<1,1<4 \Rightarrow 1<\sqrt{1,1}<2,$$
$$16<17<25 \Rightarrow 4<\sqrt{17}<5.$$

Следовательно,

$$5<\sqrt{1,1}+\sqrt{17}<7.$$

Значит,

$$\sqrt{3,9}+\sqrt{8}<\sqrt{1,1}+\sqrt{17}.$$

2) Сравним числа $$\sqrt{11}-\sqrt{2,1}$$ и $$\sqrt{10}-\sqrt{3,1}.$$

Предположим, что

$$\sqrt{11}-\sqrt{2,1}>\sqrt{10}-\sqrt{3,1}.$$

Тогда

$$\sqrt{11}-\sqrt{10}>\sqrt{2,1}-\sqrt{3,1}.$$

Возведём исходное сравнение в квадрат удобнее через перенос:

$$\sqrt{11}+\sqrt{3,1}>\sqrt{10}+\sqrt{2,1}.$$

Проверим разность квадратов:

$$\left(\sqrt{11}+\sqrt{3,1}\right)^2-\left(\sqrt{10}+\sqrt{2,1}\right)^2$$
$$= (11+3,1+2\sqrt{34,1})-(10+2,1+2\sqrt{21})$$
$$=2+2\left(\sqrt{34,1}-\sqrt{21}\right)>0.$$

Так как $$34,1>21,$$ то $$\sqrt{34,1}>\sqrt{21},$$ и полученное неравенство верно. Значит,

$$\sqrt{11}-\sqrt{2,1}>\sqrt{10}-\sqrt{3,1}.$$

Ответ

1) $$\sqrt{3,9}+\sqrt{8}<\sqrt{1,1}+\sqrt{17}.$$

2) $$\sqrt{11}-\sqrt{2,1}>\sqrt{10}-\sqrt{3,1}.$$