Упр.1096 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) ((корень 3 степени x) + 1/корень x)12, содержащий x^-1;
2) (корень x + 1/(корень 3 степени x))16, содержащий x3.

1. Для бинома $$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{12}$$ общий член разложения имеет вид

   $$C_{12}^n\left(x^{\frac13}\right)^{12-n}\left(x^{-\frac12}\right)^n=C_{12}^n x^{4-\frac{n}{3}-\frac{n}{2}}=C_{12}^n x^{4-\frac{5n}{6}}.$$

   Найдём член, содержащий $$x^{-1}$$:

   $$4-\frac{5n}{6}=-1,$$

   $$\frac{5n}{6}=5,\qquad n=6.$$

   Тогда коэффициент равен

   $$C_{12}^6=\frac{12!}{6!\,6!}=924.$$

   Искомый член: $$924x^{-1}.$$

2. Для бинома $$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{16}$$ общий член разложения имеет вид

   $$C_{16}^n\left(x^{\frac12}\right)^{16-n}\left(x^{-\frac13}\right)^n=C_{16}^n x^{8-\frac{n}{2}-\frac{n}{3}}=C_{16}^n x^{8-\frac{5n}{6}}.$$

   Найдём член, содержащий $$x^3$$:

   $$8-\frac{5n}{6}=3,$$

   $$\frac{5n}{6}=5,\qquad n=6.$$

   Тогда коэффициент равен

   $$C_{16}^6=\frac{16!}{6!\,10!}=8008.$$

   Искомый член: $$8008x^3.$$

Ответ

1) $$924x^{-1}$$; 2) $$8008x^3$$.