Упр.1096 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти член разложения бинома:
- $$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{12}$$, содержащий $$x^{-1}$$;
- $$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{16}$$, содержащий $$x^3$$.
1) Общий член разложения бинома
$$\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{12}$$
имеет вид
$$C_{12}^n\left(x^{\frac13}\right)^{12-n}\left(x^{-\frac12}\right)^n=C_{12}^n x^{4-\frac{n}{3}-\frac{n}{2}}=C_{12}^n x^{4-\frac{5n}{6}}.$$
Найдём, при каком $$n$$ степень равна $$-1$$:
$$4-\frac{5n}{6}=-1,$$
$$\frac{5n}{6}=5,$$
$$n=6.$$
Тогда искомый член равен
$$C_{12}^6 x^{-1}=\frac{12!}{6!\,6!}x^{-1}=924x^{-1}.$$
2) Общий член разложения бинома
$$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{16}$$
имеет вид
$$C_{16}^n\left(x^{\frac12}\right)^{16-n}\left(x^{-\frac13}\right)^n=C_{16}^n x^{8-\frac{n}{2}-\frac{n}{3}}=C_{16}^n x^{8-\frac{5n}{6}}.$$
Найдём, при каком $$n$$ степень равна $$3$$:
$$8-\frac{5n}{6}=3,$$
$$\frac{5n}{6}=5,$$
$$n=6.$$
Тогда искомый член равен
$$C_{16}^6 x^3=\frac{16!}{6!\,10!}x^3=8008x^3.$$
Ответ: 1) $$924x^{-1}$$; 2) $$8008x^3$$.
