Упр.1091 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) С 2/(x+1) + C 3/(x+1) =7x;
2) С 3/(x-1) + C 2/(x-1) =4(x-1);
3) C 3/x = 4/15 C 4/(x+2);
4) 5C 3/x = C 4/(x+2);
5) C (3x-1)/(3x+1) =120;
6) C (2x-1)/(2x+1) =36.

Подробный ответ

$$C_{x+1}^2+C_{x+1}^3=7x$$
$$C_{x+1}^3=7x$$
$$\frac{(x+1)!}{3!(x-2)!}=7x$$
$$\frac{(x+1)x(x-1)}{6}=7x$$
$$x(x+1)(x-1)=42x$$
$$x(x^2-1-42)=0$$
$$x(x^2-43)=0$$
С учётом области определения для сочетаний получаем $$x\ge 2$$, поэтому подходит только $$x=5$$.
$$C_{x-1}^3+C_{x-1}^2=4(x-1)$$
$$C_x^3=4(x-1)$$
$$\frac{x!}{3!(x-3)!}=4(x-1)$$
$$\frac{x(x-1)(x-2)}{6}=4(x-1)$$
$$x(x-1)(x-2)=24(x-1)$$
$$x(x-2)=24$$
$$x^2-2x-24=0$$
$$x=6 \text{ или } x=-4$$
По ОДЗ $$x\ge 3$$, значит $$x=6$$.
$$C_x^3=\frac{4}{15}C_{x+2}^4$$
$$\frac{x!}{3!(x-3)!}=\frac{4}{15}\cdot\frac{(x+2)!}{4!(x-2)!}$$
$$\frac{x(x-1)(x-2)}{6}=\frac{4}{15}\cdot\frac{(x+2)(x+1)x(x-1)}{24}$$
$$x(x-1)(x-2)=\frac{1}{15}(x+2)(x+1)x(x-1)$$
$$15(x-2)=(x+2)(x+1)$$
$$15x-30=x^2+3x+2$$
$$x^2-12x+32=0$$
$$x=8 \text{ или } x=4$$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ, значит $$x=8$$ и $$x=4$$.
$$5C_x^3=C_{x+2}^4$$
$$5\cdot\frac{x!}{3!(x-3)!}=\frac{(x+2)!}{4!(x-2)!}$$
$$5\cdot\frac{x(x-1)(x-2)}{6}=\frac{(x+2)(x+1)x(x-1)}{24}$$
$$20(x-2)=(x+2)(x+1)$$
$$20x-40=x^2+3x+2$$
$$x^2-17x+42=0$$
$$x=14 \text{ или } x=3$$
Оба значения подходят, значит $$x=14$$ и $$x=3$$.
$$C_{3x-1}^{3x}=120$$
$$\frac{(3x+1)!}{(3x-1)!\,2!}=120$$
$$\frac{(3x+1)\cdot 3x}{2}=120$$
$$3x(3x+1)=240$$
$$9x^2+3x-240=0$$
$$3x^2+x-80=0$$
$$x=5 \text{ или } x=-\frac{16}{3}$$
По ОДЗ подходит только $$x=5$$.
$$C_{2x+1}^{2x-1}=36$$
$$\frac{(2x+1)!}{(2x-1)!\,2!}=36$$
$$\frac{(2x+1)\cdot 2x}{2}=36$$
$$x(2x+1)=36$$
$$2x^2+x-36=0$$
$$x=4 \text{ или } x=-\frac{9}{4}$$
По ОДЗ подходит только $$x=4$$.