Упр.109 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить выражение $$\sqrt{43+30\sqrt{2}}+\sqrt{43-30\sqrt{2}}$$.

Обозначим

$$x=\sqrt{43+30\sqrt2}+\sqrt{43-30\sqrt2}.$$

Тогда

$$x^2=(43+30\sqrt2)+2\sqrt{(43+30\sqrt2)(43-30\sqrt2)}+(43-30\sqrt2).$$

Сложим первые и последние слагаемые:

$$x^2=86+2\sqrt{43^2-(30\sqrt2)^2}.$$

Вычислим подкоренное выражение:

$$43^2-(30\sqrt2)^2=1849-1800=49.$$

Тогда

$$x^2=86+2\sqrt{49}=86+14=100.$$

Так как $$x>0$$, получаем

$$x=\sqrt{100}=10.$$

Ответ

10