Упр.108 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна $$39$$, а сумма их обратных величин равна $$\frac{13}{27}$$.

Пусть $$b_1,\; b_2,\; b_3$$ — первые три члена геометрической прогрессии со знаменателем $$q$$, где $$b_1>0,\; q>0,\; q<1.$$ Тогда

$$b_2=b_1q,\qquad b_3=b_1q^2.$$

По условию

$$b_1+b_2+b_3=39,$$

значит

$$b_1(1+q+q^2)=39.$$

Сумма обратных величин равна $$\frac{13}{27}$$:

$$\frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\frac1{b_3}=\frac{13}{27}.$$

Подставим $$b_2=b_1q,\; b_3=b_1q^2$$:

$$\frac1{b_1}+\frac1{b_1q}+\frac1{b_1q^2}=\frac{13}{27},$$

$$\frac{1+q+q^2}{b_1q^2}=\frac{13}{27}.$$

Из первого равенства $$b_1=\frac{39}{1+q+q^2}$$. Подставим это во второе:

$$\frac{(1+q+q^2)^2}{39q^2}=\frac{13}{27}.$$

Отсюда

$$27(1+q+q^2)^2=507q^2,$$

$$9(1+q+q^2)^2=169q^2,$$

$$3(1+q+q^2)=13q.$$

Так как $$q>0$$, получаем

$$3q^2-10q+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=100-36=64,$$

$$q_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Получаем $$q_1=3$$ и $$q_2=\frac13$$. Так как прогрессия бесконечно убывающая, то $$0<q<1$$, значит

$$q=\frac13.$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{39}{1+\frac13+\frac19}=\frac{39}{\frac{13}{9}}=27.$$

Тогда сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{27}{1-\frac13}=\frac{27}{\frac23}=\frac{81}{2}=40{,}5.$$

Ответ: $$40{,}5$$.