Упр.1078 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение:
   1) $$\frac{A_9^n \cdot P_{10-n}}{P_8}, \quad n \leq 9$$;
   2) $$\frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14-n}}, \quad n \leq 13$$.

1)

$$\frac{A_9^n \cdot P_{10-n}}{P_8}=\frac{\dfrac{9!}{(9-n)!}\cdot (10-n)!}{8!}$$

Так как $$9!=9\cdot 8!,$$ получаем

$$\frac{9\cdot 8!}{(9-n)!}\cdot \frac{(10-n)!}{8!}=9\cdot \frac{(10-n)!}{(9-n)!}=9(10-n)=90-9n.$$

Ответ: $$90-9n$$

2)

$$\frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14-n}}=\frac{12!}{\dfrac{13!}{(13-n)!}\cdot (14-n)!}$$

Преобразуем:

$$\frac{12!}{\dfrac{13!}{(13-n)!}\cdot (14-n)!}=\frac{12!\,(13-n)!}{13!\,(14-n)!}$$

Так как $$13!=13\cdot 12!,$$ то

$$\frac{12!\,(13-n)!}{13\cdot 12!\,(14-n)!}=\frac{(13-n)!}{13\,(14-n)!}=\frac{1}{13(14-n)}.$$

Раскроем скобки в знаменателе:

$$13(14-n)=182-13n.$$

Следовательно,

$$\frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14-n}}=\frac{1}{182-13n}.$$

Ответ: $$\frac{1}{182-13n}$$