Упр.1077 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Решить относительно $$m$$ уравнение:
1) $$A_m^2=72$$;
2) $$A_m^2=56$$;
3) $$A_m^3=12m$$;
4) $$A_m^3=20m$$;
5) $$A_{m+1}^2=110$$;
6) $$A_m^3=90$$;
7) $$A_m^5=18A_{m-2}^4$$;
8) $$(m-4)A_m^4=21(m-5)A_{m-2}^3$$.
1) $$A_m^2=72$$
$$m(m-1)=72$$
$$m^2-m-72=0$$
$$D=1+288=289$$
$$m=\frac{1\pm 17}{2}$$
$$m_1=-8,\quad m_2=9$$
Так как $$m>1$$, получаем $$m=9$$.
2) $$A_m^2=56$$
$$m(m-1)=56$$
$$m^2-m-56=0$$
$$D=1+224=225$$
$$m=\frac{1\pm 15}{2}$$
$$m_1=-7,\quad m_2=8$$
Так как $$m>1$$, получаем $$m=8$$.
3) $$A_m^3=12m$$
$$m(m-1)(m-2)=12m$$
$$m(m-1)(m-2)-12m=0$$
$$m\bigl((m-1)(m-2)-12\bigr)=0$$
$$m\bigl(m^2-3m-10\bigr)=0$$
$$m^2-3m-10=0$$
$$D=9+40=49$$
$$m=\frac{3\pm 7}{2}$$
$$m_1=-2,\quad m_2=5$$
Так как $$m>2$$, получаем $$m=5$$.
4) $$A_m^3=20m$$
$$m(m-1)(m-2)=20m$$
$$m\bigl((m-1)(m-2)-20\bigr)=0$$
$$m\bigl(m^2-3m-18\bigr)=0$$
$$m^2-3m-18=0$$
$$D=9+72=81$$
$$m=\frac{3\pm 9}{2}$$
$$m_1=-3,\quad m_2=6$$
Так как $$m>2$$, получаем $$m=6$$.
5) $$A_{m+1}^2=110$$
$$(m+1)m=110$$
$$m^2+m-110=0$$
$$D=1+440=441$$
$$m=\frac{-1\pm 21}{2}$$
$$m_1=-11,\quad m_2=10$$
Так как $$m$$ — натуральное число, получаем $$m=10$$.
6) $$A_{m+2}^2=90$$
$$(m+2)(m+1)=90$$
$$m^2+3m+2-90=0$$
$$m^2+3m-88=0$$
$$D=9+352=361$$
$$m=\frac{-3\pm 19}{2}$$
$$m_1=-11,\quad m_2=8$$
Так как $$m$$ — натуральное число, получаем $$m=8$$.
7) $$A_m^5=18A_{m-2}^4$$
$$m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=18(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)$$
Сократим на $$(m-2)(m-3)(m-4)$$:
$$m(m-1)=18(m-5)$$
$$m^2-m=18m-90$$
$$m^2-19m+90=0$$
$$D=361-360=1$$
$$m=\frac{19\pm 1}{2}$$
$$m_1=9,\quad m_2=10$$
Оба значения подходят.
8) $$(m-4)A_m^4=21(m-5)A_{m-2}^3$$
$$(m-4)m(m-1)(m-2)(m-3)=21(m-5)(m-2)(m-3)(m-4)$$
Сократим на $$(m-4)(m-2)(m-3)$$:
$$m(m-1)=21(m-5)$$
$$m^2-m=21m-105$$
$$m^2-22m+105=0$$
$$D=484-420=64$$
$$m=\frac{22\pm 8}{2}$$
$$m_1=7,\quad m_2=15$$
Оба значения подходят.
Ответ: 1) $$m=9$$; 2) $$m=8$$; 3) $$m=5$$; 4) $$m=6$$; 5) $$m=10$$; 6) $$m=8$$; 7) $$m=9,\,10$$; 8) $$m=7,\,15$$.
