Упр.1067 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение относительно $$n$$:

1. $$\frac{pn}{pn+1}=\frac{1}{4}$$;
2. $$\frac{pn+2}{pn+1}=5$$;
3. $$\frac{pn}{pn-2}=20$$;
4. $$\frac{pn-1}{pn+1}=\frac{1}{12}$$.

1) $$\frac{P_n}{P_{n+1}}=\frac14$$

Так как $$P_n=n!,$$ получаем

$$\frac{n!}{(n+1)!}=\frac14,$$

$$\frac{1}{n+1}=\frac14,$$

$$n+1=4,$$

$$n=3.$$

2) $$\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}}=5$$

Тогда

$$\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=5,$$

$$n+2=5,$$

$$n=3.$$

3) $$\frac{P_n}{P_{n-2}}=20$$

Имеем

$$\frac{n!}{(n-2)!}=20,$$

$$n(n-1)=20,$$

$$n^2-n-20=0,$$

$$D=1+80=81,$$

$$n=\frac{1\pm 9}{2}.$$

Получаем $$n_1=-4,$$ $$n_2=5.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, то $$n=5.$$

4) $$\frac{P_{n-1}}{P_{n+1}}=\frac1{12}$$

Тогда

$$\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\frac1{12},$$

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac1{12},$$

$$n(n+1)=12,$$

$$n^2+n-12=0,$$

$$D=1+48=49,$$

$$n=\frac{-1\pm 7}{2}.$$

Получаем $$n_1=-4,$$ $$n_2=3.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, то $$n=3.$$

Ответ: 1) $$n=3$$; 2) $$n=3$$; 3) $$n=5$$; 4) $$n=3$$.