Упр.1063 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр $$1, 2, 3, 4, 5$$ так, чтобы:
1) последней была цифра $$3$$;
2) первой была цифра $$4$$;
3) первой была цифра $$5$$, а второй — цифра $$1$$;
4) первой была цифра $$2$$, а последней — цифра $$4$$;
5) первыми были цифры $$3$$ и $$4$$, расположенные в любом порядке;
6) последними были цифры $$1$$ и $$2$$, расположенные в любом порядке?

Подробный ответ

1) Если последняя цифра фиксирована и равна $$3$$, то остальные $$4$$ цифры можно расставить любым способом:

$$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

2) Если первая цифра равна $$4$$, то оставшиеся $$4$$ цифры также можно переставить произвольно:

$$4! = 24$$

3) Если первая цифра $$5$$, а вторая — $$1$$, то остаётся $$3$$ цифры, которые можно переставить:

$$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$

4) Если первая цифра $$2$$, а последняя — $$4$$, то остаётся $$3$$ цифры, которые можно переставить:

$$3! = 6$$

5) Если первыми стоят цифры $$3$$ и $$4$$ в любом порядке, то для них есть $$2$$ варианта расположения, а оставшиеся $$3$$ цифры можно переставить $$3!$$ способами:

$$2 \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12$$

6) Если последними стоят цифры $$1$$ и $$2$$ в любом порядке, то для них есть $$2$$ варианта расположения, а оставшиеся $$3$$ цифры можно переставить $$3!$$ способами:

$$2 \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12$$