Упр.106 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) b2=-81, s2=162;
2) b2=-33, s2=67;
3) b1+b2=130, b1-b3=120;
4) b2+b4=68, b2-b4=60.

Подробный ответ

$$b_2=-81,\quad S_2=162$$
Для геометрической прогрессии
$$S_2=b_1+b_2=b_1-81=162,$$
откуда
$$b_1=243.$$
Тогда
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-81}{243}=-\frac13,$$
следовательно,
$$|q|=\frac13<1.$$
Значит, прогрессия бесконечно убывающая.
$$b_2=33,\quad S_2=67$$
Имеем
$$S_2=b_1+b_2=b_1+33=67,$$
откуда
$$b_1=34.$$
Тогда
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{33}{34},$$
и потому
$$|q|=\frac{33}{34}<1.$$
Следовательно, прогрессия бесконечно убывающая.
$$b_1+b_2=130,\quad b_1-b_3=120$$
Пусть знаменатель прогрессии равен $$q$$. Тогда
$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$
Получаем систему:
$$ \begin{cases} b_1+b_1q=130,\\ b_1-b_1q^2=120. \end{cases} $$
Из второго уравнения
$$b_1(1-q^2)=120,$$
а из первого
$$b_1(1+q)=130.$$
Подставим $$b_1=\dfrac{120}{1-q^2}$$ в первое уравнение:
$$\frac{120(1+q)}{1-q^2}=130.$$
Так как $$1-q^2=(1-q)(1+q),$$ то
$$\frac{120}{1-q}=130,$$
откуда
$$120=130-130q,$$
$$13q^2+12q-1=0.$$
Решая квадратное уравнение, получаем
$$q_1=\frac{1}{13},\quad q_2=-1.$$
Значение $$q=-1$$ не подходит, так как тогда $$b_1+b_2=0,$$ что противоречит условию $$b_1+b_2=130.$$
Значит,
$$|q|=\frac{1}{13}<1.$$
Следовательно, прогрессия бесконечно убывающая.
$$b_2+b_4=68,\quad b_2-b_4=60$$
Сложим уравнения:
$$2b_2=128,\quad b_2=64.$$
Вычтем второе из первого:
$$2b_4=8,\quad b_4=4.$$
Для геометрической прогрессии
$$b_2=b_1q,\quad b_4=b_1q^3.$$
Тогда
$$\frac{b_4}{b_2}=q^2=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}.$$
Следовательно,
$$|q|=\frac14<1.$$
Значит, прогрессия бесконечно убывающая.