Упр.106 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если:

1. $$b_2=-81,\ s_2=162$$;
2. $$b_2=-33,\ s_2=67$$;
3. $$b_1+b_2=130,\ b_1-b_3=120$$;
4. $$b_2+b_4=68,\ b_2-b_4=60$$.

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если $$|q|<1$$.

1. $$b_2=-81,\quad S_2=162$$

   Так как $$S_2=b_1+b_2,$$ то

   $$b_1-81=162,\quad b_1=243.$$

   Тогда

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-81}{243}=-\frac13,$$

   следовательно, $$|q|=\frac13<1.$$

   Прогрессия бесконечно убывающая.

2. $$b_2=33,\quad S_2=67$$

   Имеем

   $$b_1+33=67,\quad b_1=34.$$

   Тогда

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{33}{34},$$

   а значит, $$|q|=\frac{33}{34}<1.$$

   Прогрессия бесконечно убывающая.

3. $$b_1+b_2=130,\quad b_1-b_3=120$$

   Пусть $$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$ Тогда

   $$b_1+b_1q=130,$$

   $$b_1-b_1q^2=120.$$

   Из второго равенства

   $$b_1=\frac{120}{1-q^2}.$$

   Подставим в первое:

   $$\frac{120}{1-q^2}+\frac{120q}{1-q^2}=130.$$

   Отсюда

   $$120+120q=130-130q^2,$$

   $$13q^2+12q-1=0.$$

   $$D=12^2+4\cdot 13=196,$$

   $$q=\frac{-12\pm 14}{26}.$$

   Получаем $$q_1=\frac{1}{13},\quad q_2=-1.$$ Значение $$q=-1$$ не подходит, так как тогда $$1-q^2=0.$$

   Значит, $$|q|=\frac{1}{13}<1.$$

   Прогрессия бесконечно убывающая.

4. $$b_2+b_4=68,\quad b_2-b_4=60$$

   Сложим уравнения:

   $$2b_2=128,\quad b_2=64.$$

   Вычтем второе из первого:

   $$2b_4=8,\quad b_4=4.$$

   Так как $$b_2=b_1q,\quad b_4=b_1q^3,$$ то

   $$\frac{b_4}{b_2}=\frac{b_1q^3}{b_1q}=q^2=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}.$$

   Следовательно,

   $$|q|=\frac14<1.$$

   Прогрессия бесконечно убывающая.

Ответ: во всех четырёх случаях геометрическая прогрессия бесконечно убывающая.