Упр.1041 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) у = х3 — Зх2 — 9х + 1, х = 0, y = 6 (при х < 0); 2) у = х4 - 2х2 + 5, y = 1, х = 0, х=1.
Найдём точки пересечения графика $$y=x^3-3x^2-9x+1$$ с прямой $$y=6$$ при $$x<0$$:
$$x^3-3x^2-9x+1=6$$
$$x^3-3x^2-9x-5=0$$
Проверяем корень $$x=-1$$:
$$(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)-5=-1-3+9-5=0$$
Значит, $$x=-1$$ — корень уравнения. На отрезке $$[-1;0]$$ площадь равна
$$ S=\int_{-1}^{0}\bigl(6-(x^3-3x^2-9x+1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{0}(5-x^3+3x^2+9x)\,dx. $$
$$ S=\left(5x-\frac{x^4}{4}+x^3+\frac{9x^2}{2}\right)\Bigg|_{-1}^{0} =0-\left(-5-\frac14-1+\frac92\right) =\frac74. $$
Для фигуры, ограниченной линиями $$y=x^4-2x^2+5$$, $$y=1$$, $$x=0$$, $$x=1$$, на отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция — $$y=x^4-2x^2+5$$, нижняя — $$y=1$$.
Тогда
$$ S=\int_{0}^{1}\bigl((x^4-2x^2+5)-1\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}(x^4-2x^2+4)\,dx. $$
$$ S=\left(\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+4x\right)\Bigg|_{0}^{1} =\frac15-\frac23+4 =\frac{53}{15}. $$
Ответ
1) $$\frac74$$; 2) $$\frac{53}{15}$$.
