Упр.1040 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) параболой $$y=x^2-2x+2$$, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью $$Oy$$, и прямой $$x=1$$; 2) гиперболой $$y=\frac{4}{x}$$, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой $$x=2$$, и прямыми $$y=0$$, $$x=6$$.

1) Для параболы $$y=x^2-2x+2$$ найдём точку пересечения с осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем $$y=2$$, значит точка касания имеет координаты $$\left(0;2\right)$$.

Производная:

$$y’=2x-2.$$

Угловой коэффициент касательной в точке $$x=0$$ равен

$$y'(0)=-2.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y=2-2x.$$

Искомая площадь равна

$$S=\int\limits_0^1 \Bigl((x^2-2x+2)-(2-2x)\Bigr)\,dx =\int\limits_0^1 x^2\,dx =\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 =\frac13.$$

2) Для гиперболы $$y=\frac{4}{x}$$ при $$x=2$$ имеем

$$y(2)=2.$$

Производная:

$$y’=-\frac{4}{x^2},$$

поэтому

$$y'(2)=-1.$$

Уравнение касательной в точке $$\left(2;2\right)$$:

$$y-2=-1(x-2),$$

то есть

$$y=4-x.$$

На отрезке $$[2;4]$$ сверху находится гипербола, а на отрезке $$[4;6]$$ — ось $$Ox$$, поэтому площадь равна

$$S=\int\limits_2^4 \left(\frac{4}{x}-(4-x)\right)\,dx+\int\limits_4^6 \frac{4}{x}\,dx.$$

Вычислим:

$$S=\left(4\ln x-4x+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_2^4+4\ln x\Bigg|_4^6 =4\ln 3-2.$$

Ответ

1) $$\frac13$$; 2) $$4\ln 3-2$$.