Упр.1039 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) у = х2 + 1, у = 3-х2;
3) у = х2, у = 2 корень 2х;
4) у = корень х, у = корень (4-3x), у = 0.

Подробный ответ

Найдём точки пересечения графиков:
$$x^2-6x+9=x^2+4x+4$$
$$10x=5,\quad x=\frac12.$$
На отрезке $$\left[-2;\frac12\right]$$ выше расположена функция $$y=x^2+4x+4,$$ а на отрезке $$\left[\frac12;3\right]$$ — функция $$y=x^2-6x+9.$$ Тогда
$$ S=\int_{-2}^{1/2}(x^2+4x+4)\,dx+\int_{1/2}^{3}(x^2-6x+9)\,dx. $$
$$ S=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2+4x\right)\Bigg|_{-2}^{1/2} +\left(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x\right)\Bigg|_{1/2}^{3} =10\frac{5}{12}. $$
Точки пересечения:
$$x^2+1=3-x^2$$
$$2x^2=2,\quad x=\pm1.$$
На отрезке $$[-1;1]$$ сверху находится график $$y=3-x^2,$$ снизу — $$y=x^2+1.$$ Поэтому
$$ S=\int_{-1}^{1}\bigl((3-x^2)-(x^2+1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx. $$
$$ S=\left(2x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1} =2\frac{2}{3}. $$
Точки пересечения:
$$x^2=2\sqrt{2x}.$$
Так как $$x\ge 0,$$ возведём в квадрат:
$$x^4=8x,\quad x(x^3-8)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ и $$x=2.$$ На отрезке $$[0;2]$$ сверху график $$y=2\sqrt{2x},$$ снизу — $$y=x^2.$$ Тогда
$$ S=\int_{0}^{2}\bigl(2\sqrt{2x}-x^2\bigr)\,dx. $$
$$ S=\left(\frac{4}{3}x\sqrt{2x}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2} =\frac{8}{3}. $$
Точки пересечения:
$$\sqrt{x}=\sqrt{4-3x}$$
$$x=4-3x,\quad 4x=4,\quad x=1.$$
На отрезке $$[0;1]$$ сверху график $$y=\sqrt{x},$$ а на отрезке $$[1;\frac43]$$ — график $$y=\sqrt{4-3x}.$$ Поэтому
$$ S=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\int_{1}^{4/3}\sqrt{4-3x}\,dx. $$
$$ S=\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right)\Bigg|_{0}^{1} +\left(-\frac{2}{9}(4-3x)^{3/2}\right)\Bigg|_{1}^{4/3} =\frac{8}{9}. $$