Упр.1039 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$y=x^2-6x+9,\quad y=x^2+4x+4,\quad y=0$$
2. $$y=x^2+1,\quad y=3-x^2$$
3. $$y=x^2,\quad y=2\text{ корень }2x$$
4. $$y=\sqrt{x},\quad y=\sqrt{4-3x},\quad y=0$$

1) Найдём точки пересечения парабол:

$$x^2-6x+9=x^2+4x+4$$

$$10x=5,\quad x=\frac12.$$

На отрезках интегрирования верхняя функция меняется, поэтому

$$S=\int_{-2}^{\frac12}(x^2+4x+4)\,dx+\int_{\frac12}^{3}(x^2-6x+9)\,dx.$$

Вычислим:

$$\begin{aligned} S&=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2+4x\right)\Bigg|_{-2}^{\frac12} +\left(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x\right)\Bigg|_{\frac12}^{3}\\ &=\frac{125}{12}=10\frac{5}{12}. \end{aligned}$$

2) Точки пересечения:

$$x^2+1=3-x^2,$$

$$2x^2=2,\quad x=\pm1.$$

Тогда

$$S=\int_{-1}^{1}\bigl((3-x^2)-(x^2+1)\bigr)\,dx=\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx.$$

$$S=\left(2x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1} =\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}.$$

3) Точки пересечения:

$$x^2=2\sqrt{2x},$$

$$x^4=8x,\quad x(x^3-8)=0,\quad x=0,\; x=2.$$

Площадь фигуры:

$$S=\int_{0}^{2}\bigl(2\sqrt{2x}-x^2\bigr)\,dx.$$

$$\begin{aligned} S&=\left(\frac{4}{3}x\sqrt{2x}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2} =\frac{16}{3}-\frac{8}{3} =\frac{8}{3}. \end{aligned}$$

4) Точки пересечения:

$$\sqrt{x}=\sqrt{4-3x},$$

$$x=4-3x,\quad 4x=4,\quad x=1.$$

Площадь фигуры:

$$S=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\int_{1}^{\frac43}\sqrt{4-3x}\,dx.$$

$$\begin{aligned} S&=\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right)\Bigg|_{0}^{1} +\left(-\frac{2}{9}(4-3x)^{3/2}\right)\Bigg|_{1}^{\frac43}\\ &=\frac{2}{3}+\frac{2}{9} =\frac{8}{9}. \end{aligned}$$

Ответ

1) $$10\frac{5}{12}$$; 2) $$2\frac{2}{3}$$; 3) $$\frac{8}{3}$$; 4) $$\frac{8}{9}$$.