Упр.1038 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1038. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
      
      1) $$y=\frac{1}{x}$$, $$y=4x$$, $$x=1$$, $$y=0$$;
      
      2) $$y=\frac{1}{x^2}$$, $$y=x$$, $$x=2$$, $$y=0$$;
      
      3) $$y=x^2+1$$, $$y=x+1$$;
      
      4) $$y=x^2+2$$, $$y=2x+2$$.

1) Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=4x$$:

$$\frac{1}{x}=4x$$

$$4x^2=1$$

$$x=\pm \frac{1}{2}$$

Так как область ограничена линиями $$x=1$$ и $$y=0$$, рассматриваем положительную часть: $$x\in\left[\frac{1}{2},1\right]$$.

Тогда площадь равна

$$S=\int_{0}^{1/2}4x\,dx+\int_{1/2}^{1}\frac{1}{x}\,dx$$

$$S=\left.2x^2\right|_{0}^{1/2}+\left.\ln x\right|_{1/2}^{1}=\frac{1}{2}+\ln 1-\ln \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\ln 2$$

2) Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac{1}{x^2}$$ и $$y=x$$:

$$\frac{1}{x^2}=x$$

$$x^3=1$$

$$x=1$$

Площадь фигуры:

$$S=\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{x^2}\,dx$$

$$S=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{1}+\left.-\frac{1}{x}\right|_{1}^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}+1\right)=1$$

3) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2+1$$ и $$y=x+1$$:

$$x^2+1=x+1$$

$$x^2-x=0$$

$$x(x-1)=0$$

$$x=0,\; x=1$$

Площадь между кривыми:

$$S=\int_{0}^{1}\bigl((x+1)-(x^2+1)\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx$$

$$S=\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

4) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2+2$$ и $$y=2x+2$$:

$$x^2+2=2x+2$$

$$x^2-2x=0$$

$$x(x-2)=0$$

$$x=0,\; x=2$$

Площадь фигуры:

$$S=\int_{0}^{2}\bigl((2x+2)-(x^2+2)\bigr)\,dx=\int_{0}^{2}(2x-x^2)\,dx$$

$$S=\left.\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{0}^{2}=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$$

Ответ

1) $$\frac{1}{2}+\ln 2$$; 2) $$1$$; 3) $$\frac{1}{6}$$; 4) $$\frac{4}{3}$$.