Упр.1038 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1038 1) у = 1/x, у= 4х, х = 1, у = 0;
2) у = 1/x2, у = х, х = 2, у = 0;
3) у = х2 + 1, у = х + 1;
4) у = х2 + 2, у = 2х + 2.

1. $$y=\frac{1}{x},\quad y=4x,\quad x=1,\quad y=0.$$

   Найдём точку пересечения графиков:

   $$\frac{1}{x}=4x$$

   $$1=4x^2$$

   $$x=\pm \frac{1}{2}.$$

   Так как рассматривается область при $$x>0$$, берём $$x=\frac{1}{2}$$.

   Тогда площадь фигуры:

   $$ S=\int_0^{1/2} 4x\,dx+\int_{1/2}^{1}\frac{1}{x}\,dx =\left.2x^2\right|_0^{1/2}+\left.\ln x\right|_{1/2}^{1} $$

   $$ S=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2+\ln 1-\ln \frac{1}{2} =\frac{1}{2}-\ln \frac{1}{2}. $$

2. $$y=\frac{1}{x^2},\quad y=x,\quad x=2,\quad y=0.$$

   Точка пересечения графиков:

   $$\frac{1}{x^2}=x$$

   $$1=x^3$$

   $$x=1.$$

   Площадь фигуры:

   $$ S=\int_0^1 x\,dx+\int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx =\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1+\left.-\frac{1}{x}\right|_1^2 $$

   $$ S=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}+1\right)=1. $$

3. $$y=x^2+1,\quad y=x+1.$$

   Точки пересечения:

   $$x^2+1=x+1$$

   $$x^2-x=0$$

   $$x(x-1)=0,$$

   откуда $$x=0$$ и $$x=1.$$

   Площадь между графиками:

   $$ S=\int_0^1 \bigl((x+1)-(x^2+1)\bigr)\,dx =\int_0^1 (x-x^2)\,dx $$

   $$ S=\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1 =\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6}. $$

4. $$y=x^2+2,\quad y=2x+2.$$

   Точки пересечения:

   $$x^2+2=2x+2$$

   $$x^2-2x=0$$

   $$x(x-2)=0,$$

   откуда $$x=0$$ и $$x=2.$$

   Площадь фигуры:

   $$ S=\int_0^2 \bigl((2x+2)-(x^2+2)\bigr)\,dx =\int_0^2 (2x-x^2)\,dx $$

   $$ S=\left.\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^2 =4-\frac{8}{3} =\frac{4}{3}. $$

Ответ

1) $$\frac{1}{2}-\ln \frac{1}{2}$$; 2) $$1$$; 3) $$\frac{1}{6}$$; 4) $$\frac{4}{3}$$.