Упр.1037 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) интеграл (0;пи/3) 1/3sin(x-пи/3)dx;
3) интеграл (1;3) sin(3x-6)dx;
4) интеграл (0;3) 8cos(4x-12)dx.

1. $$\int\limits_{0}^{\pi/4}\frac12\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\,dx$$

   Найдём первообразную:

   $$\int \frac12\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\,dx=\frac12\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+C$$

   Тогда

   $$ \int\limits_{0}^{\pi/4}\frac12\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\,dx =\frac12\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\Bigg|_{0}^{\pi/4} =\frac12\left(\sin\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{4}\right) $$

   $$ =\frac12\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right) =\frac{2-\sqrt2}{4} $$

2. $$\int\limits_{0}^{\pi/3}\frac13\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\,dx$$

   Первообразная:

   $$\int \frac13\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\,dx=-\frac13\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+C$$

   Тогда

   $$ \int\limits_{0}^{\pi/3}\frac13\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\,dx =-\frac13\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\Bigg|_{0}^{\pi/3} $$

   $$ =-\frac13\left(\cos 0-\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) =-\frac13\left(1-\frac12\right) =-\frac16 $$

3. $$\int\limits_{1}^{3}3\sin(3x-6)\,dx$$

   Первообразная:

   $$\int 3\sin(3x-6)\,dx=-\cos(3x-6)+C$$

   Тогда

   $$ \int\limits_{1}^{3}3\sin(3x-6)\,dx =-\cos(3x-6)\Bigg|_{1}^{3} =-\cos 3+\cos(-3) $$

   Так как $$\cos(-3)=\cos 3$$, получаем

   $$-\cos 3+\cos 3=0$$

4. $$\int\limits_{0}^{3}8\cos(4x-12)\,dx$$

   Первообразная:

   $$\int 8\cos(4x-12)\,dx=2\sin(4x-12)+C$$

   Тогда

   $$ \int\limits_{0}^{3}8\cos(4x-12)\,dx =2\sin(4x-12)\Bigg|_{0}^{3} =2\bigl(\sin 0-\sin(-12)\bigr) $$

   $$ =2\sin 12 $$

Ответ

1) $$\frac{2-\sqrt2}{4}$$; 2) $$-\frac16$$; 3) $$0$$; 4) $$2\sin 12$$.