Упр.1035 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
   1) $$y=\sqrt{x}$$, $$x=1$$, $$x=4$$, $$y=0$$;
   2) $$y=\cos x$$, $$x=0$$, $$x=\frac{\pi}{3}$$, $$y=0$$;
   3) $$y=x^2$$, $$y=2-x$$;
   4) $$y=2x^2$$, $$y=0{,}5x+1{,}5$$.

1) Площадь фигуры равна площади под графиком $$y=\sqrt{x}$$ на отрезке $$[1;4]$$:

$$S=\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx=\int_{1}^{4}x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1}^{4} =\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$4\frac{2}{3}$$.

2) На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\cos x$$ неотрицательна, значит

$$S=\int_{0}^{\pi/3}\cos x\,dx=\left.\sin x\right|_{0}^{\pi/3} =\sin\frac{\pi}{3}-\sin 0=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

3) Найдём точки пересечения графиков:

$$x^2=2-x,$$

$$x^2+x-2=0,$$

$$(x+2)(x-1)=0,$$

$$x=-2,\quad x=1.$$

На отрезке $$[-2;1]$$ сверху находится прямая $$y=2-x$$, снизу — парабола $$y=x^2$$. Тогда

$$S=\int_{-2}^{1}\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx =\left.(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})\right|_{-2}^{1}.$$

$$S=\left(2-\frac12-\frac13\right)-\left(-4-2+\frac83\right) =\frac{7}{6}+\frac{20}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}=4\frac12.$$

Ответ: $$4\frac12$$.

4) Найдём точки пересечения:

$$2x^2=0{,}5x+1{,}5,$$

$$4x^2-x-3=0.$$

$$D=1+48=49,$$

$$x_1=\frac{1-7}{8}=-\frac34,\quad x_2=\frac{1+7}{8}=1.$$

На отрезке $$\left[-\frac34;1\right]$$ сверху прямая $$y=0{,}5x+1{,}5$$, снизу парабола $$y=2x^2$$. Тогда

$$S=\int_{-3/4}^{1}\bigl(0{,}5x+1{,}5-2x^2\bigr)\,dx =\left(-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{4}+\frac{3x}{2}\right)\Bigg|_{-3/4}^{1}.$$

$$S=\left(-\frac23+\frac14+\frac32\right)-\left(\frac{9}{32}+\frac{9}{16}-\frac98\right) =\frac{13}{12}+\frac{45}{64}=\frac{151}{192}.$$

Ответ: $$\frac{151}{192}$$.